検算方法いろいろ ——— 微分・積分・極限値の計算結果を確かめる方法について

加藤由紀
2018年3月21日 2018年度以降受講生向けに微修正
2017年5月12日 MathJaxのCDNを変更(ヘッダ部分)
2016年6月13日 公開 (微分積分学I 受講生向け)

微分積分学I の受講生向けに,計算の検算方法をいくつか紹介しておく. 大学では,答えが簡単にはわからない問題に取り組むことが多い. 自分のやった計算について 「どこまで正しいか? 自分の力で確かめる技術」を習得しておくと, いろんな場面で役に立つだろう.

  1. 積分計算の結果は,微分して検算する
  2. 別の方法で計算する
  3. グラフを描く
  4. 本で調べる
  5. 数式処理ソフトを使う
  6. 誰かに聞く

1. 積分計算の結果は,微分して検算する

不定積分を求めたときは, 得られた答えを微分して もとの関数になるかどうか確かめる.

ついでに注意しておくと,有理関数の積分の場合は, 部分分数に分解するところで間違うことが多い. 例えば, 例2c の積分計算では, 式 \eqref{eq:ex1-1bunkai} を通分して 被積分関数のもとの形 $\dfrac{1}{(x^2-1)^3}$ になるかどうか 確認することも大事.

2. 別の方法で計算する

もしも複数の方法で計算できる場合は, 自分が初めに計算したのとは別の方法で計算してみて, 同じ答えが得られるかどうか確かめる.

2-1 極限値の例

例2a: $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2}$

この極限値は,例えば,次の3つの方法で計算できる.

2-2 微分計算の例

例2b: $f(x)=\arctan \dfrac{x}{a}$ ($a\;$は定数) の導関数は,次の方法で求めることができる.

2-3 積分計算の例

例2c: $\disp I=\int \frac{dx}{(x^2-1)^3}$  は,次の方法で計算することができる.

例2d: $\disp I=\int^2_{-1} f(x) dx$, $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2+x-x^2}} =\dfrac{1}{\sqrt{-(x-2)(x+1)}} =\dfrac{1}{\sqrt{\frac{9}{4}-(x-\frac{1}{2})^2}}$.

この積分は,置換積分法で計算できる. 変数のおき方には例えば次の方法がある.

3. グラフを描く

3-1 極限値の検算例

関数のグラフを正確に描くと極限値の検算ができることが多い.

例3a: $f(x)=\dfrac{1}{\sin^2 x}-\dfrac{1}{x^2}$ の極限値 $\disp \lim_{x \to 0} f(x)$.

$f(x)$ のグラフを図1に示す. $x=0$ 近くの拡大図 (図1(b)) から, $\disp \lim_{x \to 0} f(x)$ が 0.2 と 0.4 の間の値をとることがわかる. もっと細かい値を知りたければ,もっと拡大した図を描いてみればよい.

f=1/sin^2 x - 1/x^2の図
図1: $\disp f(x)=\frac{1}{\sin^2 x} - \frac{1}{x^2}$.

補足: この例題は,テイラー級数を利用すると楽に計算できる. ロピタルの定理を使っても計算できるけれど,微分計算がかなり面倒だ. ちなみに答えは $\frac{1}{3}$.

3-2 微分計算,積分計算の検算例

導関数の計算についても,グラフを描くことによって, その符号だけは検算できる.

例3b: $f(x)=x-\arctan(2x)$ の導関数は, $\disp f^\prime(x)=1-\frac{2}{(2x)^2+1}$ である.

$y=f(x)$ と $y=f^\prime(x)$ を 重ねて描くと, 図2(a)のようになる. 両者を見比べると, $f(x)$ が増えているとき (減っているとき) $f^\prime(x)$ は正 (負) であることが確認できる. これで,$f^\prime(x)$ の符号だけは正しいことがわかる. もしも,計算を間違って,例えば $\disp f^\prime(x)=1-\frac{1}{(2x)^2+1}$ ($=g(x)$ とおく) としたらどうだろうか? 関数 $g(x)=1-\dfrac{1}{(2x)^2+1}$ の符号は $f(x)$ の増減と合わない [ 図2(b)参照 ]. したがって, $\disp f^\prime(x)=1-\frac{1}{(2x)^2+1}$ は間違いであることがわかる.

微分計算の確認図
図2: $f(x)=x-\arctan(2x)$ の導関数の検算例. (a) 実線は $y=f(x)$,破線は $y=f^\prime(x)$. (b) 実線は $y=f(x)$,破線は $y=g(x)=1-\dfrac{1}{(2x)^2+1}$.
注意

4. 本で調べる

問題集,演習書,公式集などに, 自分の解いた問題と似たような問題が載ってないかどうか調べる. 図書館でいろんな本を漁ってみるとよいだろう.

5. 数式処理ソフトを使う

数式処理ソフトは, 数式の展開・因数分解や微分積分などの演算をやってくれる. 次の使用例のように.

数式処理ソフトの使用例 (Mathematicaでの計算例)
  入力1: f=1/Sin[x]^2 - 1/x^2;     <- fの定義.( ^2 は 2乗を意味する )
  入力2: Limit[f, x -> 0]     <- 0における極限値を求めろ という命令
  出力3: 1/3                       <- 極限値

  入力4: f = x - ArcTan[2 x];      <- fの定義
  入力5: D[f, x]                   <- fをxで微分しろ という命令
  出力6: 1 - 2/(1 + 4 x^2)         <- 微分した結果

  入力7: f = 1/Sqrt[2 + x - x^2];  <- fの定義.( Sqrt は 1/2乗を意味する )
  入力8: Integrate[f, x]           <- fをxで積分しろ という命令
  出力9:  -ArcSin[1/3 (1 - 2 x)]   <- 積分した結果

この例では,私が使っているソフト (Mathematica) での計算を紹介したが, 特にこのソフトを推奨している訳ではない (Mathematicaは有料のソフトで,しかもお安くはない). 無料で使える数式処理ソフトもある. 例えば,Maxima は無料で使える. MATLABも,鳥取大学の学生だったら無料で使える (ただし学内でないと使えないみたい.詳しくはメディアセンターで調べて下さい).

6. 誰かに聞く

同じ問題を誰かに解いてもらって,自分の答えと比べる.

誰に聞く場合でも, その人の説明を鵜呑みにはしないこと. その人の言うことはどこまで正しいか? そして,自分にとってどこまで納得がいくか? といったことを,よく考えよう. 誰かの答えと自分の答えがくい違った場合は, どこから違いが生じたのか考えよう.

ついでに言っておくと,当然のことだが,私加藤も「誰か」の候補だ. 教員やTAへは,積極的に質問してほしい.