Helmholtz方程式というのは、次のような微分方程式である:
∇2 φ + α2 φ = 0物理的には、 弦や膜や空洞の振動をあらわす方程式だと考えてもよいし、 壁によって閉じ込められた自由粒子のSchrodinger方程式だと思っても良い。
1次元の場合、Helmholtz方程式は
(d/dx)2 φ + α2 φ = 0という おなじみの常微分方程式になる。 (応用数理工学科の学生で この微分方程式の解を知らない人がいたら、明らかに勉強不足だ!)
では、2次元の場合はどうなるか? というと、 次のような偏微分方程式になる:
[∂x2 + ∂y2] φ + α2 φ = 0この方程式の回転対称な解は、 0次のBessel関数 J0 であらわされる。 GNUPLOTを用いて、 波形を図示してみる:
回転対称な解をxで微分すると、
180度の対称性をもつ解が得られる:
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