2次元Helmholtz方程式の解としてのBessel関数

Helmholtz方程式というのは、次のような微分方程式である:

2 φ + α2 φ = 0
物理的には、 弦や膜や空洞の振動をあらわす方程式だと考えてもよいし、 壁によって閉じ込められた自由粒子のSchrodinger方程式だと思っても良い。

1次元の場合、Helmholtz方程式は

(d/dx)2 φ + α2 φ = 0
という おなじみの常微分方程式になる。 (応用数理工学科の学生で この微分方程式の解を知らない人がいたら、明らかに勉強不足だ!)

では、2次元の場合はどうなるか? というと、 次のような偏微分方程式になる:

[∂x2 + ∂y2] φ + α2 φ = 0
この方程式の回転対称な解は、 0次のBessel関数 J0 であらわされる。 GNUPLOTを用いて、 波形を図示してみる:
[2次元Helmholtz方程式の解としてのJ0]

回転対称な解をxで微分すると、 180度の対称性をもつ解が得られる:

[2次元Helmholtz方程式の解としてのJ1]

この解のr依存性を示す関数が、 1次のBessel関数 J1 にほかならない。

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