ODE講義についての質問と回答

講義日 2009-04-20
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講義終了後に書いてもらったメモのなかから 「質問」「疑問」と思われるもの、 または担当者の興味をひいたコメントを選んで掲載します。 文章表現は一部変える場合があります。 (質問でなく要望と思われるものは、 いちおう承りますが、ここでは原則として扱いません。)

Σと階差数列が違いに逆の関係にあることはまったく気づかなかった!

つまり新しいことを学んだと言えるわけで、 それでこそ講義に出席したかいがあったというものです。 Σと階差数列が逆というのが理解できてはじめて、 積分と微分についても(単なる暗記ではなく) 意味が理解できるようになると思います。

数値解の表の作り方がまだよくわからない。

第3講(4/27)で配ったプリントに例が載っているので、 これを見ながら考えてみてください。 ある意味で、 パズルの穴を埋めていく作業に似ていますが、 それに比べれば手順が定まっていて簡単だと思います。

ODEを解くのに数列を使うやりかたは理解できたが、 講義のはじめのほうに言っていた, 微分方程式の形をみてから判断するってのをやってほしい。

そのうちやります(5月末に基本的なことを説明して、 あとは中間試験以降に実践的な問題のなかで考えていきます)。 あわてずに待つように。

解を予想してODEを解くときは, どのようなところに注意したらよいか?

良い質問です(…って、 まだ「解を予想して解く」という方法を説明していないんだけど)。

大事なのは、ODEの種類を見極めること。 種類は大きく分けると 「線形同次」「線形非同次」「非線形」の3つがあります。 これが重要なのは、たとえば 線形同次の場合にしか使えないパターンがあったりするからです。 詳しくは5月の後半に説明しますが、 根底にあるのは線形代数の考え方なので、 たとえば「線形結合」とか「線形演算子」とかいった用語を チェックしておくことをお勧めします。
また「○変数○階」というのを正しく押さえることも重要です。 これは解に含まれる任意定数の個数に関係してきます。

あと、言うまでもないことですが、 微分について、ある程度の経験を積んでおくことも必要です。 積や商やlogの微分とか、合成関数の微分(連鎖則)とか、 いろいろ練習しておきましょう。

d2x/dt2 = k x が 変数分離で解けないのは分かったが, どうやって解くのか? (差分と予想以外で)

ええと、5/1には差分解法、 5月後半には解を予想して代入する方法を説明する予定なのですが…。
せっかくのリクエストなので、ここでは、 それ以外の解法をふたつ紹介しましょう。

たくさんの技を知っているほうがいろいろと応用が効くので便利です。

今日の内容と対応する教科書のページ番号を知りたい。

いちおうODE講義のページに 教科書とのヒントを書いておくので、参考にしてください。 もっとも、完全に対応しているわけではありません。

日本語が読みにくい。 きれいに書いてほしい。

いや自分でも汚い字だなあと思いながら書いているんですが…。 今からきれいに書こうとしても、申し訳ありませんが、 事実上、無理ではないかと思うのです。 そのぶん、何を書いているか分かるように補足説明しますから、 読みにくい箇所があったら、 遠慮せずに途中で割り込んで質問してください。
個人的な回想ですが、益川先生は 講義のたびに「こんなのはパターン認識ですから!」と 字が汚い言い訳をされていたような…。 蔵本先生の板書は非常にきれいでしたが、 私などにはとてもまねできそうにありません。

改善が難しいという点では、字の大きさも同様です。 なるべく大きく書こうと心がけてはいるのですが、かといって 黒板を消すサイクルがあまりに速くなるのも困るので、 大きく書くのにも限度があります。 添字や指数が読みにくいことが多々あるとは思いますが、 必要があれば口頭で補足するので、 見えないときは見えないと言ってください。 よろしくお願いします。

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