ODE講義
作成: 2009-04-21 / 更新: 2009-08-02
- ODEは「常微分方程式」(Ordinary Differential Equation)の略です。
- このページでは、鳥取大学工学部応用数理工学科で大信田が担当するODEの授業について解説します。
- 古い資料はこちら
。
※ 「教えて! goo」などのリンクから来られた方の場合、
目的とする情報は
古い資料のなかにあるものと思われます。
講義内容
2009年度前期 (月曜5コマ目)
配布プリント(補足資料)&関連する質問
- ODEの差分解法のプリント(4/27の補足資料)にある例題を
やってみたのですが、結果が合いません。 なぜでしょうか?
-
関数電卓でsin(q)を計算するときに
ラジアンで計算するようにしてください。
ここを「度」で計算すると違った結果になります。
今までの内容のまとめと復習のヒント
赤 = クライツィグ「常微分方程式」
緑 = 江見圭司ほか「基礎数学のI II III」
- 期末試験(8/4)
質問は応数SNSで受け付けます。
- 第14講 (7/27): 宇宙から原子まで -- back to 応用数理
(保存則・ODEの変数分離・PDEの変数分離)
- 数学の復習
- 解が exp になる方程式: 発散か収束かを見分ける
- 定数係数の2階線形ODE(赤§2.2)
- 2階線形ODEで基本解が1つしか見つからなかった場合
→ 定数変化法(Lagrangeの階数低減法; 赤 pp.74-75)
- 惑星の運動(cf. 7/22 日蝕)
- 運動方程式
- 問題に適した変数であらわす(今の場合は極座標)
→ 2変数2階の非線形ODE
- ふたつの保存量: 角運動量・エネルギー
(値は初期条件で決まる)
- dr と dθ の式に直して変数分離 → 軌道の形が分かる
- 惑星の軌道の半径は初期条件で決まっている
(だから、よその恒星のまわりには
地球とは異なる軌道半径の惑星がまわっていてもよい)
- 原子も太陽系のようなもの?
→ 単純に考えると
電子の軌道半径が原子ごとに違うことになり、おかしい
→ 電子の軌道半径は何で決まっているのか?
- 電子の運動方程式: ODEではなくPDE(Schroedinger方程式)
※ Schroedinger方程式の「導出」については来年まで棚上げ。
今回は、とにかく
Schroedinger方程式を解くことを考える。
- Schroedinger方程式が与えられたとする(形としては
惑星の場合に考えたエネルギー積分の式に似ている)
- 手抜きをして2次元で考える
(本当は3次元で考えるべきだがそれも来年まで棚上げ。
ただし赤 p.220 を見ておくとよい)
- 変数分離: PDEをODEに直す
(惑星の運動でいうと、極座標を用いて
角運動量の式とrの式に分けるステップに対応)
- 解を φ = F(r) G(θ) とおいて代入
- 左辺に F と r を、右辺に G と θ を集める
- 左辺はθによらず 右辺は r によらないので
左辺 = 右辺 = 定数
- Gの方程式を解く:
周期境界条件 → 分離定数 μ = m2 (mは整数)
- Fの方程式に代入し適当に変数変換
→ 未定の定数λを(固有値として)含む線形同次ODE
(Eをkに変換し、さらに λ=定数/k と置いた)
- 変数係数の線形ODE(Sturm-Liouville型; 赤§4.7)
- いきなり解くのは難しい → まず
s << 1 と s >> 1 での近似解を求める
- 全領域で成り立つ解を求めるため
F = (上記の近似解) × (n次の多項式)
とおいて代入
(ここで n = ∞ としたのが赤§4.2および§4.4)
- とりあえず n = 2 として代入
→ 3×3行列の固有値問題になる
→ 固有値問題を解いてλおよびFを得る
- λおよびmは離散的な値をもつ(勝手な値はとれない)
→ Eが最も小さくなるような組み合わせが
原子の最も安定な状態をあらわす
→ 軌道の大きさが決まる
(すべての同種原子が同じ大きさをもつことが示せた)
- お疲れ様でした。
今回の重要ポイントは、数学的には「PDEをODEに直すこと」です。
また、数学以外のポイントとしては、
応用数理工学科でこれから学ぶことを
前もって少しだけ見ておきましょう、という趣旨の話でした。
1時間でやるには少々無理があったかもしれない。
でも、少なくとも基本方針としては、
2年生のうちに経験値を上げられるだけ上げておくことで、
3年生の授業を少しでも楽に理解できるようになることを
願っています。
- 第13講 (7/13): 生態系モデル(相平面の方法・線形化)
- D'Anconaの研究: Fiume港に水揚げされる魚のなかのサメの割合
→ 戦争があるとサメが増える: なぜ??
- Volterraの数理モデル
- 小さい魚(ヒラメなど)と
大きい魚(サメなど)の数密度に関する方程式:
1階2変数の非線形ODE
- 位相平面の考え方: 解軌道(赤 p.163; 赤§3.3)
- 固定点をさがす
- 固定点のまわりで線形化(赤§3.5)
→ 固有値問題に持ち込んで解く
- 今の場合、固定点のまわりをまわる解軌道が得られる
- 結果の解釈と考察(γによる固定点の移動)
※ Lotkaの化学反応モデルと共に
「Lotka-Volterra方程式」と呼ばれている(赤 p.186)
- 応用: 伝染病モデル
- 患者数の初期値をゼロに近付けるのは
時間稼ぎにしかならない
- 患者数[I]が増えるか減るかを決める要因:
[S] と k2/k2 の大小関係
- 第12講 (7/6): 化学反応速度論(続き)(1階N変数の非線形ODE)
- 変数の数や微分階数が増えたときどうするか?
(変数分離が使えなくなる)
- 1変数2階非線形の例(
5/18 5/25のノート:
(d/dt)2u = e-2u
→ エネルギー積分 → 変数分離に持ち込む
- 保存量(保存則)をみつける:
(d/dt)[なんとか] = 0
- 水素とヨウ素の反応
- 濃度をあらわす記号
- 方程式のたてかた:
この化学反応では反応速度は濃度の積に比例
- 2変数1階の非線形ODEになる
- 保存量を見つける → 1変数1階になる → 解ける
- 酵素の助けによりAがBに変化する反応
- 反応が複数のステップからなる:
各ステップの反応速度は濃度の積に比例
- 4変数1階の非線形ODEになる
- 保存量をさがす → 1つ見つかる → 3変数に減る
- 係数の大きさの違いを利用して近似をおこない
変数を減らす:
今の場合 k2 が大きいことが分かっている
→ すべての変数を [A] であらわすことが可能
- 最終的に1変数1階のODEになる(Michaelis-Mentenの式)
→ 変数分離で解いてグラフ化することが可能
- 第11講 (6/29): 化学反応速度の実験
(1階1変数のODE = 変数分離で解ける形)
- 反応速度とは? → 濃度cの時間変化のグラフで説明
-dc/dt = [何らかのcの関数]
- 過酸化水素の分解反応の速度をはかる実験
※特別ゲスト: 片田先生@物質工学科
- 反応速度をあらわす式は?
最も簡単に -dc/dt = k cn と推測.
- n = 1 と仮定した場合の解を求める
- n = 2 と仮定した場合の解を求める
実験データをグラフ化し, どちらの式に近いかを判定.
- 第10講 (6/22): ラジオのしくみ(線形非同次方程式の応用)
- 単振動の方程式 + 何か項を追加
- 強制振動:
前回のように定数変化法でやっても良いが,
特解を予想して代入するほうが楽(赤§2.9, 赤 p.119)
- 抵抗の項を付け加える → 減衰振動 → そのうち止まる
- エネルギー積分 (※力学の教科書を見よ)
- 抵抗がない場合: (d/dt)[エネルギー] = 0
- 抵抗がある場合: (d/dt)[エネルギー]
= -(なんとか)2 ≦ 0
非線形振動の場合にも応用できるのが利点
- テレビとラジオ
- 問題: テレビのチャンネル番号が隣り合っていると
トラブルが生じるらしいが、それはなぜ?
→ テレビは難しいのでラジオで考える
- ラジオのしくみ
- 同調回路(複数の放送局から目的とするものを選ぶ)
→ 本質的にはLCR回路(赤§2.12)
- ODEをたてる: 線形非同次ODE(赤 p.124の式(1'')に相当)
- 特解を求める
(三角関数になるのは予想できるので代入して係数を決定)
- 同次方程式の解はすぐに減衰するので無視できる
- 2つの放送局がある場合の特解を求める
→ Cの値を調整すれば片方の放送局の電波のみを受信できる
ただし2つの放送局の周波数が明確に異なることが必要
- 第9講 (6/15): 線形非同次方程式についての補足
- 線形非同次方程式の解法
- まず特解を予想して代入する方法で求める
→ 同次方程式に直す → 一般解 = 非同次特解 + 同次解
- 先に同次方程式の解を求める
→ 定数を変数におきかえて代入(定数変化法)
- その他(Laplace変換など)
- 1階ODEの場合の定数変化法
※ まずは線形同次ODEを変数分離できちんと解くことから!
- 2解ODEの場合の定数変化法(前回の補足 = 共振現象)
- 2階のままだと面倒な問題が発生するので
1階2変数に書き直す(赤 p.164)
- 途中で行列が出てくる
- 逆行列を利用し、積分できる形に持ち込む
- 結果: 共振をあらわす解(赤 p.119)
※ 定数変化法は計算がかなり面倒なので、
2回目からは、その経験をもとに、
解の形を予想して代入する方法に切り替えるほうがよい。
- 第8講 (6/8): Tacoma橋の崩壊(線形非同次方程式)
- 線形同次ODEについての補足:
いつでも基本解をexpで置くわけではない
(Euler-Cauchy型; 赤§2.6)
- 線形非同次ODEの一般解 = 非同次特解 + 同次方程式の解
(赤 p.106; 「特解」のことを「特殊解」とも言う)
- 非同次特解を「なんとかp」であらわし、
同次解を「なんとかh」であらわすことが多い
- 非同次方程式の特解を見つけるには?
- 特解を適当に推測して代入
→ 未定の係数を決定(赤§2.9)
- 定数変化法 = 同次方程式の解をもとに、
定数の部分を変数(未知の関数)に置き換えて代入
※ 赤い教科書にもいちおう説明があるけれど、
2階ODEでの説明なので、かなり分かりにくい…。
あとで補足プリントを作っておきます。
- 応用: Tacoma橋の崩壊
- 衝撃の映像
- いきなり橋を扱うのは難しい
→ 質点の強制振動に置き換えて考える(赤§2.11)
- 強制振動の方程式(赤 p.117の式(2)で c = 0 としたもの)
- 非同次特解を求める → 共振現象
- 中間試験(6/4)
- 第7講 (5/25): 線形の方程式と非線形の方程式
- ODEを解くには(ODEに限らないが)
タイプに合わせて作戦を使い分けるべき
- Descartesが「方法序説」(考え方マニュアル)に書いた4つの原則:
- 根拠のないことを信じるな
- 分ければ分かる
- 小さなものから大きなものへ
- 何か忘れていないか見直す
- 数学で最もよく使われる分け方(組み立て方): 線形結合(赤 p.71)
- ODEの一般解が線形結合の形になるのはどういう場合か?
→ ODEを3つのタイプに分類
- 線形同次:
[線形演算子](未知) = 0
- 線形非同次:
[線形演算子](未知) = (既知)
- 非線形(上記以外)
このうち線形同次方程式の一般解は
線形結合の形になる(赤§2.1; 赤§2.13)。
もう少し詳しく言うと、
n階の線形同次ODEの一般解はn個の基本解の線形結合になる。
- 線形同次ODEの例〔赤§4.3(!!)〕・非線形ODEの例
- 定数係数の線形同次ODEの場合は
基本解を eαt と置いて代入
- 実数のODEなのに途中で複素数が出てくる場合
→ 任意定数をうまく置き直して解を実数化する
- 定数係数でない場合は?? (expでうまくいくとは限らない)
- 第6講 (5/18): expで解けるタイプのODE
(d/dt-α)p = 0 の形の1階のODE
- 解がexpになる理由 → 差分解法
(4/13の講義ノート&補足資料)
差分解法は、意味を考えれば明らかだ!!
これが難しいという人は意味を考えていないとしか私には思えない。
前にも言ったが、たとえば12×14を足し算で求めるのは
面倒ではあるが難しくはない(意味さえ分かっていれば)。
ODEを差分で考えるのも、それと同じこと。
というか、これが分からずに
変数分離とか演算子とかの
意味が理解できるのかどうかが疑問だ。
「理解できなくても解ければいい」みたいなことだと、
他の科目で ものすごく苦労することになるよ。
逆に、今のうちに差分と演算子を理解しておけば、
あとで rot とか div とかいうものが出てきたときにも
あわてなくてすむはず。
- αは定数でさえあれば複素数でもOK!
(そうなる理由は、4/13の差分解法から
5/11の講義までの流れを押さえていれば分かるはず。)
- αが定数でなくtの関数になっている場合
→ 変数分離(赤 pp.17〜18)
- この場合、解が exp になるとは限らないことに注意!
- log の扱いに自信がない人 → 緑の本の p.214
2階のODEで解がexpになるパターン(赤§2.2)
- 演算子法(5/11の復習; 未知数が何なのか間違えないこと)
- 一般解は基本解の線形結合(重ね合わせの原理: 赤 pp.71-74)
- 基本解を exp(なんとか) のように推測し代入
→ 基本解が2つ求められる → 重ね合わせの原理(↑上記)
- 複素数が出てくる場合については次回
- 第5講 (5/11): 複素数のexp
[質問と回答(5/11)]
前回までの内容と問題点
- (d/dx)2y = α2y が
差分で解けることは分かったが、もっと楽な方法はないのか?
- バネの問題を解こうとすると
2次方程式が実数解を持たず行き詰まってしまう.
解が A eαt + B eβt となるODE:
演算子法(微分演算子を利用したODEの解法)の初歩
(赤§2.4; ただし教科書の記号では D = d/dx)
2次方程式が実数解をもたず行き詰まる場合の解決策
- 虚数 i = sqrt(-1) を導入 → 複素数(2次元の数)
- 複素数の exp を
eiθ = lim (1+iθ/n)n で定義
- 右辺の (1+iθ/n)n を図形的に考えて計算
複素数の等比数列 = 相似な三角形の積み重ね
- 結果: exp(iθ) = cosθ + i sinθ
(緑 p.273; 赤§2.3; どちらも級数展開を用いているが,
少なくとも学生時代の私はこの方法では納得できなかった.
もちろん結果そのものは正しい.)
- ゴールデンウィークの宿題(5/1配布・5/7提出):
複素数平面について.
課題は問題用紙ごとに微妙に変えてあるので,
自分が取った問題用紙に従って解答する(他人の問題はダメ).
レポートには課題IDを明記すること.
- 第4講 (5/1): HookeとNewton
[質問と回答(5/1)]
力学の話
(これは余談や脱線ではない. ODEの考え方にとって本質的な話だ.
そもそも微分はいったい誰が何のために編みだした技だったか,
考えてみよう.)
- 力学の歴史 (Kepler, Galileo, Newton)
- Newtonの考えたこと:
慣性の法則(等速直線運動) + 力による運動の変化
→ 時間をΔtごとに区切って差分で考える
(PrincipiaにあるKeplerの法則の説明図)
- 1次元の例: おもり + バネ = Newtonの運動法則 + Hookeの法則
差分式
xn+1 = -xn-1
+ (2 - (k/m)Δt2) xn
→ 前回の講義で扱った漸化式と同じパターン
前回考えた (d/dx)2y = α2y を差分化した式を
実際に解いてみる(解法が分からない人は前回の講義ノートを復習!)
→ 2次方程式に持ち込む
→ 解は(連続極限で)y = A eαx + B e-αx
(2つの exp の線形結合)
おもりとバネの差分式も同じ方法で解けるはず…だが
2次方程式の解が実数にならないために行き詰まる.
→ 複素数について勉強しよう.
- 第3講 (4/27): 2階のODE
[質問と回答(4/27)]
微分方程式と差分方程式〔連続と離散〕の関係
(図の矢印が前回までの講義内容のどこに相当するか考える!)/
ODEの差分解法 [補足資料]/
差分と和分・微分と積分(緑 §3.2.1; 緑 p.174; 緑 p.177)/
積分はもともとΣだった(緑 §4.2.1)/
差分を利用して数列を予測する(緑 §3.2.3)/
2階微分の差分化(2階差分 = 階差の階差 → 隣接3項の式)/
(d/dt)2z = g (= const.) の
積分による解法と差分による解法 [補足資料]/
隣接3項漸化式(緑 pp.120〜122; 固有値問題との関係)/
(d/dx)2y = α2y の差分化
- 第2講 (4/20): 数列
[質問と回答(4/20)]
ODEを変数分離法で積分に持ち込んで解く(赤 pp.17〜18)/
数値解と解析解(講義ノート; 用語の意味を理解すること!)/
ODEを差分方程式に直して数値解を求める/
数列(緑 p.88〜)/
等比数列の和(緑 pp.101〜103)/
階差数列 = Σの逆(緑 §3.2.1)
- 第1講 (4/13): ODEという考え方
[質問と回答(4/13)]
ODEに関する用語や基本概念(赤 §1.1; 緑 §4.3.2)/
ODEの応用例(赤 p.5; 第2講の配布資料)/
dx/dt = kx を差分で解く [補足資料]/
(1+x/n)nの極限としての指数関数(緑 p.213)
第4講(5/1)の図:
Newtonは力学の法則を差分であらわした
ODE講義の教科書&参考書
- 江見圭司ほか「基礎数学のI II III」
-
指定教科書。
高校数学の復習から大学の微分積分への橋渡しのような本である。
特に数列を勉強する際に利用するとよい。
- クライツィグ「常微分方程式(第8版)」
-
この本も、いちおう2009年前期の指定教科書。
他の講義(特に力学II)でも使うので、入手しておくこと。
なお、クライツィグの一連の教科書の旧版(第5版)は
固有値問題をほとんど全く扱わないひどい本という印象があるが、
新版では改善されている。
- 小谷岳生「ゼロから学ぶ物理数学」
-
この本の存在は2009年になってから知ったのだが、読んでみると、
自分の講義の内容と発想が共通する部分が非常に多くて驚いた。
数学と理論物理に興味がある人にはお勧め。
- 笠原晧司「新微分方程式対話」
-
内容もさることながら、
この本のなかの先生の放任具合と学生の自発性がすばらしい。
演習との関連
6/15の講義のあと、ある学生が書いたコメントと、それに対する返事:
- 演習とよく打ち合わせしてくれないと、
講義で習ってないところが出ます。
-
実際のところ、毎週綿密に打ち合わせをしているのですよ。
演習で出る内容はすべて講義で触れた内容か、
それを少しだけひねったものです。
直球ど真中のこともあれば外角ぎりぎりの場合もありますが、
とにかく全部ストライクなので、間違って見送らないように。
たとえば6/8の場合、定数変化法を範囲外と思ったら間違いです。
講義中の例題を自分の手で解いてみればできるはず。
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