2階の常微分方程式の解き方

作成日 : 2000-11-14 / 最終更新日: 2002-05-10


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2階微分を含む方程式の場合、 1階の微分方程式とは違った工夫が必要である。

発見的方法: どうやったら解ける?

解き方を天下り的に示す前に、 まずは地道に自分の手と頭で考えてみたい。 そのために、1つ具体例を考えてみる(``解き方の見本''という意味ではなく、 いろいろと式をいじって解き方を考えだすための例である)。 たとえば

(d/dt)^2{y} - 5dy/dt + 6y = 0 (5)

という方程式は、2階の微分方程式なので、 このままでは解けない。 しかし、方程式(5)の左辺を書き換えて

(d/dt-3)(d/dt-2)y = 0

のように式変形できることに気づけば、
p = (d/dt-2)y = dy/dt - 2y (6)

と置くことにより 式(5)を
dp/dt - 3p = 0 (7)

という1階の微分方程式に直すことができる。 方程式(7)は

dp/p = 3 dt

と書き直せて、 その解は(Cを 任意定数として)

p = C e^{3t}

である。 これを方程式(6)に代入すると さきほどの方程式[前の章の式(3)]と 同じパターンになり、 定数変化法で解くことができる。 任意定数を適当に置きなおすと、 結果は
y = C1 e^{2t} + C2 e^{3t} (8)

となる。 たしかに任意定数を2つ含んでおり、 また微分方程式(5)に代入して 等号が成り立つことも容易に確認できる。

さて、このようなややこしい手続きをふまずに 一般的に解く方法がないかとは、誰しもが思うことである。 微分方程式(5)がなぜ解けたのか、 よく考えてみると

左辺の微分を``因数分解''できたこと
が重要であることがわかる。 したがって、一般的に、とにかく 因数分解に持ち込めば解けるのではないかと考えられる。 因数分解ということは、2次方程式と言い替えてもよい。

もうひとつ、微分方程式(5)が 線形微分方程式であることに注目する。 これは、 y=y1(t)という解と y=y2(t)という解が 得られたとき、

y = C1 y1 + C2 y2 (9)

と置くと やはり解になっている(代入すると等号が成り立つ)ということである。 これを重ね合わせの原理という。 一般の方程式ではこんな都合のいいことは期待できない。
たとえば
y (d/dt)^2{y} - 2(dy/dt)^2 = 0 (10)

という方程式が

y = y1 = 1/(1+t),  y = y2 = 1/(1-t)

という解をもつことは容易に分かるが(代入して等号成立を確認すればよい)、 だからといって

y = C1 y1 + C2 y2

とおいても解にならない(代入して確認せよ)。 方程式(10)は非線形なので、 重ね合わせの原理が成り立たないのである。

基本解による解法

話を微分方程式(5)に戻すと、 この方程式は線形であって、重ね合わせの原理が成り立つ。 だから、もとになる解(基本解) y1, y2 を とにかく求めれば、 重ね合わせの原理によって一般解が

y = C1 y1 + C2 y2

のように得られる。 そこで、ためしに基本解を
y = e^{beta t} (11)

と置いて、 微分方程式(5)に代入してみよう。 すると、うまいぐあいに指数関数が消えて

beta^2 - 5 beta + 6 = 0

という2次方程式が得られる。狙いどおりである! この2次方程式の解は

beta = 2 or 3

で、これから基本解が

y = y1 = e^{2t},  y = y2 = e^{3t}

のように得られる。 一般解は、重ね合わせの原理により、 基本解を任意定数倍して足し合わせればよいから
y = C1 y1 + C2 y2 = C1 e^{2t} + C2 e^{3t} (12)

と求められる。

参考: 基本解について [PSファイル]
このように、微分方程式とは関係ない問題でも、 線形の問題であるならば「基本解」という概念が通用する。

注意

もちろん、 いつでも式(11)のように置けばよいわけではない。 たとえば

t^2 (d/dt)^2{y} + 6y = 0

のような場合は、式(11)の代わりに

y = t^alpha

と置かなければならない。 このへんも、場合に応じていろいろ工夫する必要があるが、 だいたいよくでてくるパターンというのは決まっているので、 問題集を買って計算練習を積むことが大切である。 特に、

(d/dt)^2{y} + 9y = 0

のようなパターンは、 見ただけで答が分かるようになってほしいものである。

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