定数変化法

最終更新日: 2000-11-14


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解ける形の方程式に少しだけ新しい項を追加した形の方程式では、 定数変化法を使うと解ける場合が多い。 たとえば

dy/dt - y = 0 (2)

の一般解は、 Aを任意定数として

y = Ae^{t}

と書ける[→ 1階の常微分方程式の解き方を見よ]。 ここで、右辺に新しい項をつけ加えて
dy/dt - y = e^{2t} (3)

とした場合の解を考えよう。 右辺がもしゼロなら解はすでに分かっている。 そこで、(無謀かもしれないが)
y = Ae^{t} (4)

と置いてみよう。 もちろん、ただ(4)と置いたのでは、 右辺とイコールにすることはできないから、少し工夫し、
A は定数ではなく tの関数である
として式(4)を 微分方程式(3)に代入する。 代入した結果を整理すると

dA/dt = e^{t}

となって、めでたく両辺を tで積分できる形となり、

A = A_0 + e^{t}

すなわち

y = A_0 e^{t} + e^{2t}

を得る。 確かに1個の任意定数を含む形であり、 また微分方程式(3)に代入すれば 等号が成り立つことも容易に確認できる。

注意

念のために言っておくと、 何でもかんでも定数変化法で解くのが良いわけではない。 たとえば

dy/dt - y = -alpha y^2

のような場合、定数変化法でも解けることは解けるが、 すなおに変数分離に持ち込むほうが良い。 また

dy/dt - y = t

のような場合、解を

y = A e^t + [ t の多項式 ]

と仮定して代入するほうが速い(ここで Aは定数)。

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