定数変化法
最終更新日: 2000-11-14
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解ける形の方程式に少しだけ新しい項を追加した形の方程式では、
定数変化法を使うと解ける場合が多い。
たとえば
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(2) |
の一般解は、
を任意定数として
と書ける[→ 1階の常微分方程式の解き方を見よ]。
ここで、右辺に新しい項をつけ加えて
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(3) |
とした場合の解を考えよう。
右辺がもしゼロなら解はすでに分かっている。
そこで、(無謀かもしれないが)
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(4) |
と置いてみよう。
もちろん、ただ(4)と置いたのでは、
右辺とイコールにすることはできないから、少し工夫し、
は定数ではなく
の関数である
として式(4)を
微分方程式(3)に代入する。
代入した結果を整理すると
となって、めでたく両辺を
で積分できる形となり、
すなわち
を得る。
確かに1個の任意定数を含む形であり、
また微分方程式(3)に代入すれば
等号が成り立つことも容易に確認できる。
注意
念のために言っておくと、
何でもかんでも定数変化法で解くのが良いわけではない。
たとえば
のような場合、定数変化法でも解けることは解けるが、
すなおに変数分離に持ち込むほうが良い。
また
のような場合、解を
と仮定して代入するほうが速い(ここで
は定数)。
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