1階の常微分方程式の解き方

最終更新日: 2000-11-14


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1階微分のみを含む(2階以上の微分を含まない)常微分方程式を考えよう。 うまく式変形して、解ける形にもちこむ。 たとえば

dy/dx = G(x) (1)

のような形になったら、 両辺を積分して y が求められることは 明らかである。 このとき、積分定数として1個の任意定数が生じる。 一般に、 N階の常微分方程式の一般解は N個の任意定数を含むことが知られている[※]。 1階の常微分方程式の一般解は1個の任意定数を含む。
※ きわめて特殊な状況で例外が生じることがあるが、ふつうは気にしなくてよい。

式(1)のほかに、 解ける形として、次のようなものがある:

これらの形は、囲碁の定石やマージャンの役と同じように、 見ただけでそれと分かるようにならなければならない。 たくさん練習をつんでしっかりと覚えること。

注意

たとえば

dy/dt = t^2

だったら 両辺を tで 積分すれば良いが、

dy/dt = y^2

の場合、 両辺をtで積分(?)して

y = int y^2 dt = y^2 t + C

などとしてはいけない。 なぜなら y = y(t) は 未知の関数なので、 int y^2 dtを 簡単に計算するわけにはいかないのである。 今の場合、変数分離にもちこんで

dy/y^2 = dt

とするのが定石である。

別のよくある間違いは、

(d/dt)^2{y} + y = 0


(d^2{y})/y = -dt^2

のように変数分離(?)して解こう、というものである。 しかし

int (d^2{y})/y

を計算しろといわれても困るので、この方法は使えない。 2階微分の場合には、 1階微分の場合の解き方とは違った工夫が必要なのである [→2階ODEの解き方を見よ]。

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