1階の常微分方程式の解き方
最終更新日: 2000-11-14
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1階微分のみを含む(2階以上の微分を含まない)常微分方程式を考えよう。
うまく式変形して、解ける形にもちこむ。
たとえば
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(1) |
のような形になったら、
両辺を積分して
が求められることは
明らかである。
このとき、積分定数として1個の任意定数が生じる。
一般に、 N階の常微分方程式の一般解は
N個の任意定数を含むことが知られている[※]。
1階の常微分方程式の一般解は1個の任意定数を含む。
※ きわめて特殊な状況で例外が生じることがあるが、ふつうは気にしなくてよい。
式(1)のほかに、
解ける形として、次のようなものがある:
これらの形は、囲碁の定石やマージャンの役と同じように、
見ただけでそれと分かるようにならなければならない。
たくさん練習をつんでしっかりと覚えること。
たとえば
だったら
両辺を
で
積分すれば良いが、
の場合、
両辺を
で積分(?)して
などとしてはいけない。
なぜなら
は
未知の関数なので、
を
簡単に計算するわけにはいかないのである。
今の場合、変数分離にもちこんで
とするのが定石である。
別のよくある間違いは、
を
のように変数分離(?)して解こう、というものである。
しかし
を計算しろといわれても困るので、この方法は使えない。
2階微分の場合には、
1階微分の場合の解き方とは違った工夫が必要なのである
[→2階ODEの解き方を見よ]。
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