常微分方程式

2002-05-10 更新 / 2008-06-22 微更新


「教えて! goo」から当ページに来られた方へ

失礼ながら少々お尋ねしますが、まさか 宿題の答えを探しに来られたわけではないですよね??
もしそうであるなら、以下の内容を参考にするまえに、 宿題を出した先生の意図は何であるかを ちょっと考えてみてください。 そのうえで、その意図にそった形で 当ページの内容を利用していただければと思います。

参考: 「教えて! goo」に宿題を頼む前に考えてほしいこと


常微分方程式とは

常微分方程式を数値的に解く

常微分方程式を手計算で解く

常微分方程式の応用

あとで書こうと思っている話

[「微分方程式」に戻る] [物理の部屋に戻る]


個人的な意見ではあるが、 応用数理工学科の講義のメインテーマは 微分方程式が解けるようになることだと私は思っている。 歴史をたどるなら、そもそも宇宙の法則を解明するために ニュートンやライプニッツが編み出した方法が、微分方程式であったのだ。 微分方程式には、大きく分けて常微分方程式と偏微分方程式があり、 どちらも数学を現実の世界に応用するうえできわめて重要である。


常微分方程式とは

微分方程式

まず「方程式とは何か?」と言えば、それは「未知数を含む等式」であり、 くわしく言うと「未知数に何か特定の値を代入したときに限って 成り立つようになっている等式」のことである。 たとえば

x^2 - 9 = 0 (1)

のような等式は、xに 任意の値を代入したのではだめで、 x=+3 とか x=-3 とかいう 特定の値を xに代入したときに限って 等号が成り立つ。 等号を成り立たせるような 未知数xの値を 求めることが、すなわち``方程式を解く''ことである。

微分方程式は、微分を含む方程式である。 ただし、ふつうの方程式とは違って、未知数を求めるのではなく、 未知の関数を求めることになる。 たとえば

(d^2{f}/dt^2) + f = 0 (2)

のような方程式を満たす f(t)を求めよ、というのがその例である。

ちなみに、微分方程式(2)の一般解は、 A, B を任意定数として f = A cos{t} + B sin{t} である。

物理学の法則や工学的な数理モデルは、 微分方程式の形であらわされることが多い。 なぜかというと、 微分とは「変化を数学的にあらわしたもの」だからである。 したがって、何か変化するものを予測しようという場合には、 ほとんど必ず微分方程式が関係してくると言ってよい。

[このページの冒頭に戻る]


常微分方程式と偏微分方程式

微分方程式のなかには、 1変数関数を扱う常微分方程式(ODE)と、 多変数関数を扱う偏微分方程式(PDE)がある。 たとえば

df/dt + 2df/dx = 0 (3)

では、 独立変数が xtの 2つであるから、 これは偏微分方程式(PDE = Partial Differential Equation)である。 つまり、 f=f(x,t) という 2変数関数を求めなければならない。 偏微分方程式を解くのは、常微分方程式に比べてはるかに難しい。

これに対して、 たとえば、さっきの微分方程式(2)は、 独立変数が t だけなので 常微分方程式(ODE = Ordinary Differential Equation)である。 また

df/ds=4g,  dg/ds=-f (4)

も 独立変数がs だけなので 常微分方程式である(従属変数 f, g に関する 連立常微分方程式になっている)。

物理の例を挙げると、質点力学にでてくる Newtonの運動方程式は常微分方程式であるが、 Navier-Stokes方程式やMaxwell方程式は偏微分方程式である。 量子力学のSchro"dinger方程式は 偏微分方程式であるが、 1粒子1次元系の定常状態のような特別な場合には、 常微分方程式に直して解くことができる。

[このページの冒頭に戻る]


常微分方程式の本

常微分方程式の本はたくさんあるが、 私(大信田)が持っている本のなかから2冊だけ挙げておく。 あとで追加するかもしれない。

笠原 晧司: 新微分方程式対話 [新版]
日本評論社 1995
寺田 文行 ほか: 演習 微分方程式 (サイエンスライブラリ 演習数学4)
サイエンス社 1977

なお、数値計算についてのリンク集も参照。


[このページの冒頭に戻る] [微分方程式] [物理の部屋]