作成: 2009-04-21 / 更新: 2009-05-25
関数から関数への写像。 すなわち、与えられた関数を別の関数に変えるもの。 たとえば d/dx という演算子(微分演算子)は f(x) を df/dx に、 xn を n xn-1 に変える。 江見圭司ほか「基礎数学のI II III」§4.1.6を見よ(ただし、 この本の p.153の欄外にある One Point Advice は間違っている)。
線形同次の常微分方程式の一般解は
一般解
= (任意定数1) (基本解1)
+ (任意定数2) (基本解2)
+ (任意定数3) (基本解3)
+ …
の形に書ける。
一般にn階の線形同次ODEであれば基本解はn個必要である。
「解の基底」ともいう。
なお、偏微分方程式では、 これとはちょっと違う意味で「基本解」という用語を用いることがある。 それはまた別の話なので別の機会に。
江見圭司ほか「基礎数学のI II III」 p.3 を見よ。 できれば遠山啓「関数を考える」も見てほしい。
「システム」の訳語。 ここからここまでが全体でひとまとまりになって機能しますよ、と いうときの「ここからここまで」のこと。 たとえば連立方程式のことを「方程式系」と言ったりする。 語源的には、システムとはギリシャ語で「組み立てたもの」のこと。
日常用語では「理系・文系」「癒し系」「ギャル系」「アキバ系」など、 系列とか系統とかいった意味でも「〜系」という語が用いられるが、 それとは違うので注意すること。
関数の出口にあたるほうの変数。 たとえば t → (x,y) = (x(t), y(t)) という関数では x と y が従属変数である。 なお、入口にあたるほうの変数(今の場合はt)を独立変数という。
ベクトルでないふつうの数(通常は実数または複素数)であり、 ベクトルの線形結合において 係数として用いられるものをいう。
物理的な意味でのスカラー量とは、 座標系に依存しない1成分の物理量のことである。 速度はベクトル量で速さはスカラー量である。 速度のz成分は、1成分という意味ではスカラーのようなものだが、 座標系に依存するので、本当の意味でのスカラーとは言えない。 物理的なスカラー量の例としては、エネルギー・電荷などがあり、 これは座標系に依存しない。 (相対性理論がどうとか言い出すと エネルギーは本当のスカラーではないことになるが…その話は ここでは棚上げしておく。)
ある演算子を考える。
仮にLとしよう。
Lが常に
L (αp +βq) = α Lp + β Lq
という関係を満たすとき「Lは線形演算子である」と言う。
たとえば
(2x + d/dx)(α p(x) + β q(x) )
= α (2x + d/dx) p(x) + β (2x + d/dx) q(x)
だから、(2x + d/dx) は線形演算子である。
あたりまえすぎて何を言っているか分からない?
しかし L (αp +βq) を α Lp + β Lq のように
「バラせる」というのは、そんなに当たりまえのことではないのだよ。
たとえば 1/(2+3) = 1/2 + 1/3 が成り立つか?
√ ではどうか?
つまり 1/( ) とか √ とかいった、バラしてはいけないものもあるので、
それと意識的に区別するために
「線形演算子」という用語が作られたのです。
つまり、線形演算子というのは、バラしてもいい、ということ。
写像の入口で線形結合にする代わりに
出口で線形結合にしても同じであることを保証します、という意味です。
αとβをスカラー(ふつうの数)として、
αp + βq のことを
「pとqの線形結合」という。
和は2項とは限らず、1項のみだったり3項以上だったりしてもよい。
また、p や q は(広い意味での)ベクトルであり、
αp + βq もベクトルである。
ついでながら、狭い意味でのベクトルの場合は
p, q, αp + βq のように
太字で書くことに注意しよう。
身近な例としては、たとえば買いものの総額が
3 × (りんごの単価) + 5 × (みかんの単価)
のようにりんごとみかんの値段の線形結合であらわされる、
などという例が挙げられる(値段は
線形結合に意味があるので広い意味でのベクトルである)。
値段だけではあまりベクトルっぽくないかもしれないが、
たとえば値段と質量と栄養価をセットにして考えると
それなりにベクトルらしい感じがしてくる。
ほかにも身近な例をいろいろ考えてみよう。
関数の入口にあたるほうの変数。 たとえば (s,t) → u = u(s,t) という関数では s と t が独立変数である。 なお、出口にあたるほうの変数(今の場合はu)を従属変数という。
演算子としての d/dx とか d/dt とかのこと。 また∇なども微分演算子の仲間である。
普通の書き方では(一部の業界のマニアックな書き方を除き)、
微分演算子は自分よりも右にあるものに作用し、
左にあるものには作用しない。
たとえば f (d/dx) g は f(x) g'(x) のことである。
つまりここでの d/dx は g には作用するが f には作用しない。
関連することであるが、
演算子を含む計算では順番をうかつに変えてはいけない。
たとえば x2 (d/dx) f(x) と
(d/dx) x2 f(x) とは異なる。
同じく u・∇ と ∇・u も全くの別ものである。
狭い意味での(物理的な)ベクトルとは、 向きと大きさであらわされる物理量(または その数学的な表現)のことである。 物理量であるからには、これは客観的な存在であって、 人間が勝手に設定した座標系などに依存してはならない。 もう少し詳しくいうと、 ベクトルの成分表示は座標系の変化に伴って見かけが変化するが、 ベクトルの大きさや向きそのものは変化しない。 詳しくは、たとえば小野寺嘉孝「なっとくするベクトル」を見てほしい。
他方、広い意味でのベクトルというものもある。 広い意味での(数学的な)ベクトルとは、線形結合が意味をなすような量のことをいう。 たとえば、xの多項式 p = a0 + a1 x + a2 x2 + … と q = b0 + b1 x + b2 x2 + … をもとに、αp + βq を考えると、 これはαやβがどんな実数(あるいは複素数)だろうと、 決して正体不明の式にはならず、必ず多項式になる。 したがって、多項式は(広い意味の)ベクトルである。 なお、p や q 自体が 1, x, x2, ... の 線形結合で作られていることにも注意しよう。
未知数を含む等式。 WH疑問文の数学版のようなもの。
合成関数の微分の計算法。 この公式は合成関数の意味が分かっていたら簡単に導出できる。
たとえば x = x(s(t)) という関数は、
t → s → x
という2段階の写像になっている。
このとき x を t で微分するには Δx/Δt を考えればよいわけで、
それを求めるには
Δx = (dx/ds)Δs に Δs = (ds/dt)Δt を代入すれば一発だ。
多変数関数のときはちょっと混乱するかもしれないが、
たとえば t → (x,y) → f の場合は、Δf が
Δf = (∂f/∂x) Δx + (∂f/∂y) Δy
のように
偏微分を含む足し算になることに注意すればよい。
「流体の数学 (2003年度版)」の補遺Fも見よ。