用語集

作成: 2009-04-21 / 更新: 2009-05-25

演算子 (operator) (「作用素」とも言う)

関数から関数への写像。 すなわち、与えられた関数を別の関数に変えるもの。 たとえば d/dx という演算子(微分演算子)は f(x) を df/dx に、 xn を n xn-1 に変える。 江見圭司ほか「基礎数学のI II III」§4.1.6を見よ(ただし、 この本の p.153の欄外にある One Point Advice は間違っている)。

基本解 (fundamental solution)

線形同次の常微分方程式の一般解は
一般解 = (任意定数1) (基本解1) + (任意定数2) (基本解2) + (任意定数3) (基本解3) + …
の形に書ける。 一般にn階の線形同次ODEであれば基本解はn個必要である。 「解の基底」ともいう。

なお、偏微分方程式では、 これとはちょっと違う意味で「基本解」という用語を用いることがある。 それはまた別の話なので別の機会に。

関数 (function)

江見圭司ほか「基礎数学のI II III」 p.3 を見よ。 できれば遠山啓「関数を考える」も見てほしい。

系 (system)

「システム」の訳語。 ここからここまでが全体でひとまとまりになって機能しますよ、と いうときの「ここからここまで」のこと。 たとえば連立方程式のことを「方程式系」と言ったりする。 語源的には、システムとはギリシャ語で「組み立てたもの」のこと。

日常用語では「理系・文系」「癒し系」「ギャル系」「アキバ系」など、 系列とか系統とかいった意味でも「〜系」という語が用いられるが、 それとは違うので注意すること。

従属変数 (dependent variable)

関数の出口にあたるほうの変数。 たとえば t → (x,y) = (x(t), y(t)) という関数では x と y が従属変数である。 なお、入口にあたるほうの変数(今の場合はt)を独立変数という。

スカラー (scalar)

ベクトルでないふつうの数(通常は実数または複素数)であり、 ベクトルの線形結合において 係数として用いられるものをいう。

物理的な意味でのスカラー量とは、 座標系に依存しない1成分の物理量のことである。 速度はベクトル量で速さはスカラー量である。 速度のz成分は、1成分という意味ではスカラーのようなものだが、 座標系に依存するので、本当の意味でのスカラーとは言えない。 物理的なスカラー量の例としては、エネルギー・電荷などがあり、 これは座標系に依存しない。 (相対性理論がどうとか言い出すと エネルギーは本当のスカラーではないことになるが…その話は ここでは棚上げしておく。)

線形演算子 (linear operator)

ある演算子を考える。 仮にLとしよう。 Lが常に
L (αp +βq) = α Lp + β Lq
という関係を満たすとき「Lは線形演算子である」と言う。 たとえば
(2x + d/dx)(α p(x) + β q(x) ) = α (2x + d/dx) p(x) + β (2x + d/dx) q(x)
だから、(2x + d/dx) は線形演算子である。

あたりまえすぎて何を言っているか分からない?
しかし L (αp +βq) を α Lp + β Lq のように 「バラせる」というのは、そんなに当たりまえのことではないのだよ。 たとえば 1/(2+3) = 1/2 + 1/3 が成り立つか? √ ではどうか? つまり 1/( ) とか √ とかいった、バラしてはいけないものもあるので、 それと意識的に区別するために 「線形演算子」という用語が作られたのです。 つまり、線形演算子というのは、バラしてもいい、ということ。 写像の入口で線形結合にする代わりに 出口で線形結合にしても同じであることを保証します、という意味です。

線形結合 (linear combination) (「一次結合」とも言う)

αとβをスカラー(ふつうの数)として、 αp + βq のことを 「pとqの線形結合」という。 和は2項とは限らず、1項のみだったり3項以上だったりしてもよい。 また、p や q は(広い意味での)ベクトルであり、 αp + βq もベクトルである。
ついでながら、狭い意味でのベクトルの場合は p, q, αp + βq のように 太字で書くことに注意しよう。

身近な例としては、たとえば買いものの総額が
3 × (りんごの単価) + 5 × (みかんの単価)
のようにりんごとみかんの値段の線形結合であらわされる、 などという例が挙げられる(値段は 線形結合に意味があるので広い意味でのベクトルである)。 値段だけではあまりベクトルっぽくないかもしれないが、 たとえば値段と質量と栄養価をセットにして考えると それなりにベクトルらしい感じがしてくる。 ほかにも身近な例をいろいろ考えてみよう。

独立変数 (independent variable)

関数の入口にあたるほうの変数。 たとえば (s,t) → u = u(s,t) という関数では s と t が独立変数である。 なお、出口にあたるほうの変数(今の場合はu)を従属変数という。

微分演算子 (operator)

演算子としての d/dx とか d/dt とかのこと。 また∇なども微分演算子の仲間である。

普通の書き方では(一部の業界のマニアックな書き方を除き)、 微分演算子は自分よりも右にあるものに作用し、 左にあるものには作用しない。 たとえば f (d/dx) g は f(x) g'(x) のことである。 つまりここでの d/dx は g には作用するが f には作用しない。
関連することであるが、 演算子を含む計算では順番をうかつに変えてはいけない。 たとえば x2 (d/dx) f(x) と (d/dx) x2 f(x) とは異なる。 同じく u・∇ と ∇・u も全くの別ものである。

ベクトル (vector)

狭い意味での(物理的な)ベクトルとは、 向きと大きさであらわされる物理量(または その数学的な表現)のことである。 物理量であるからには、これは客観的な存在であって、 人間が勝手に設定した座標系などに依存してはならない。 もう少し詳しくいうと、 ベクトルの成分表示は座標系の変化に伴って見かけが変化するが、 ベクトルの大きさや向きそのものは変化しない。 詳しくは、たとえば小野寺嘉孝「なっとくするベクトル」を見てほしい。

他方、広い意味でのベクトルというものもある。 広い意味での(数学的な)ベクトルとは、線形結合が意味をなすような量のことをいう。 たとえば、xの多項式 p = a0 + a1 x + a2 x2 + … と q = b0 + b1 x + b2 x2 + … をもとに、αp + βq を考えると、 これはαやβがどんな実数(あるいは複素数)だろうと、 決して正体不明の式にはならず、必ず多項式になる。 したがって、多項式は(広い意味の)ベクトルである。 なお、p や q 自体が 1, x, x2, ... の 線形結合で作られていることにも注意しよう。

方程式 (equation)

未知数を含む等式。 WH疑問文の数学版のようなもの。

連鎖則 (chain rule)

合成関数の微分の計算法。 この公式は合成関数の意味が分かっていたら簡単に導出できる。

たとえば x = x(s(t)) という関数は、
t → s → x
という2段階の写像になっている。 このとき x を t で微分するには Δx/Δt を考えればよいわけで、 それを求めるには Δx = (dx/ds)Δs に Δs = (ds/dt)Δt を代入すれば一発だ。

多変数関数のときはちょっと混乱するかもしれないが、 たとえば t → (x,y) → f の場合は、Δf が
Δf = (∂f/∂x) Δx + (∂f/∂y) Δy
のように 偏微分を含む足し算になることに注意すればよい。 「流体の数学 (2003年度版)」の補遺Fも見よ。