ODE講義についての質問と回答

講義日 2009-05-01
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講義終了後に書いてもらったメモのなかから 「質問」「疑問」と思われるもの、 または担当者の興味をひいたコメントを選んで掲載します。 文章表現は一部変える場合があります。 (質問でなく要望と思われるものは、 いちおう承りますが、ここでは原則として扱いません。)

力がはたらくことで運動が等速直線運動から変化するという式と、 それから固有値問題が大切だと思った。

そのとおりです。 また「慣性の法則」が力学の基本法則であること、 運動の変化を差分で書けることも重要な点です。 でもそういうコメントを書いた人が少ないのはどういうわけだろう?

2階のODEのもっと簡単な解き方はないんですか?

あります。 次回以降のお楽しみに。
でも、いきなりそれを教えても意味を理解しにくいだろうし、 先に別の方法をやってからのほうが ありがたみが理解しやすいだろうと思って、 あえて差分法という面倒だが確実な方法を先に扱いました。 (たとえて言うなら、 12×18を求めるには筆算で計算するほうが楽だけれど、 先に「12を18回たす」という 面倒だが確実な方法を教えるようなものです。)

物理と数学がこんなに密接だとは思わなかった。

ほんとうに物理と数学は密接に関係していて、 Galileoの落下法則や惑星についてのKeplerの法則など、 数式であらわすことによって、 はじめて今のような物理学への道が開けたのでした。 さらにNewtonが微積分学を作ったのも力学の問題を解くためであって、 このことからも物理と数学は非常に密接な関係にあることが分かります。 物理というと、 高校物理で公式を暗記するイメージが強いかもしれませんが、 これは無理に数学と切り離してしまったために 暗記ものに堕してしまったとも言えるわけで (太田信義「一般物理学(上)」の「まえがき」を見てください)、 それは本来あるべき姿ではないのです。
ただし、物理 = 数学 = 計算と思ってしまうと それはそれで問題があります。 数学は必ずしも計算がすべてではないからです。 物理的直観をみがくことも重要であって…まあそのうち分かるでしょう。 でもとにかく今は、 物理と数学は密接につながっているということを知っておいてください。

なぜ常微分方程式にHookeやNewtonのことが必要なのか? 雑学も必要なのかもしれないが常微分方程式について知りたい。

ええと、微積分学は誰が何のために作ったんだっけ?? 特に常微分方程式は力学と表裏一体なのだし、 バネの問題はODEのなかで最も重要なパターンなので、 むしろこれに触れないほうが不自然だと思うのですが。

あと、世の中には(特に大学の授業では)、 雑学に見えるがじつは本題だったとか、 余談に見えるがじつは大事な話だったという例が多々あります。 初心者は余談と本筋を必ずしも正しく見分けられるとは限らないので、 その点はわきまえてくださいな。 (個人的経験としても、 分厚い本を読んでいて「ここはおまけだろう」と思って飛ばしたら、 じつは大事な伏線だった、ということが何度もありました。 もちろん逆の経験もありますが。)

今日の話は物理なのか数学なのか分からない。

物理と数学が完全に一緒になっていた頃の話をしています。

物理だから数学でないとか、数学だから物理でないとか、 そういう狭い考えだと、今後の応用数理工学科の勉強では 確実に苦労することになりますよ。 いろいろなところで、 物理と数学の融合した話が出てくるものと思ってください。

物理的内容に60分かかり、数学的内容が少なかったので、 もう少し、要点をまとめてほしい。

まあさすがに、前回予告した差分解法に入るまで 60分も引っ張ったのは少々行きすぎという気もしますが、 しかし「物理的内容」つまり 運動の法則(慣性の法則 + 力積)を差分であらわすというのは やっぱり大事なポイントなので力説したかったわけです。 そこをとらえてほしいのだけれど。

Principiaをいちどじっくり見てみたい。

機会があるときに2206号室まで見に来てください (まだ部屋が片付いていませんが)。

Newtonが微分積分を見つけたということが印象に残った。 これからも物理の式が数学に出てくるのか?

出てきます。 特にODEの講義では意図的にいろいろ出す予定です。

今日はNewtonの話で終わるかと思ったら、 最終的に常微分方程式の話につながったので、 物理の法則も大切なんだと思った。 他の物理法則も常微分方程式にかかわってくるのかどうか知りたい。

ODEの定番は何といっても質点力学ですが、ほかにも、 たとえば電気回路の問題がODEに関係してきます(赤い教科書の§2.12)。 また化学反応速度論なども広い意味では物理ですが、これも ODEで扱える典型的な分野のひとつです。 さらに、量子力学・流体力学・電磁気学・統計力学など、 さまざまな物理の分野でPDEが用いられますが、 PDEを解くのにODEの知識が必要になるので、やはり関係があると言えます。

初期条件が何でもいい、というのが良く分からなかった。

授業では隣接3項漸化式だったので分かりにくかったかもしれませんが、 分かりやすいように、まず隣接2項(等比数列とか)で説明しましょう。 たとえば
an+1 = 2 an
という漸化式があって初項が指定されていない場合、 初項はどうしますか? こういう場合、初項は定数には違いありませんが、 それがどんな値をとるかは全く分かりません(これを 任意定数と言います)。 任意というのは、自分には決定権がない、と言い替えてもいいです。 これはあらゆる値をとり得るものと見なすべきでしょう。

授業で扱った隣接3項漸化式の場合は、最初の2つの項が 任意定数(つまりあらゆる値をとり得る変数)となります。 2つの項のあらゆる値をあらわすには、 (A,B) のようにするのが素直な方法ですが、 たとえば (A+B, 3A+2B) のようにあらわすことも可能です。 あらゆる値の組み合わせをカバーするという条件さえ満たせばよく、 置き方にはかなりの自由度があります。 授業では、この条件を満たし、なおかつ 結果が最もきれいになるような置き方を用いたわけです。

"const"って何ですか?

「定数 (constant)」のことです。

HookeはFookeではないの?

いえ、Hookeです。 ちなみに F = -kx の F は Force の頭文字です。

太陽から遠い惑星ほど遅いなら、 遠い惑星と近い惑星の太陽との三角形の面積はどんな関係があるのか?

良い質問です。 この結果はKeplerの第3法則から導くことができます。 ちょっとヒントを出しておくので、自分で考えてみてください。 とりあえず軌道は円であるとしましょう。 できたら楕円への拡張も考えてみてください。

課題のプリントの紙がオレンジ色だったことに疑問だった。

ええと、どんな答えを求めているのかな??? 白でなく色のついた紙にしたのはなぜか、ということなら、 それは色つきのほうが印象に残るので 宿題を忘れにくいだろう、と考えたためです。

レポートの問題[8]のMandelbrot集合とは何だ?

それを調べてこいという課題なのですが…。 フラクタルの例として有名な図形ですが、それを なぜここで出題したかというと、複素数の数列と関係しているからです。

宿題のレポート点は成績に大きく影響するのか?

あまり大きくは影響しません。 毎回の講義終了時のコメントと同じく、 追試(救済)のチャンスを認めるかどうかの判定に使うつもりです。

ただし連休の宿題の内容そのものは中間試験の範囲に含みますので、 しっかり勉強しておきましょう。

演習問題を解いて練習したいので、よい参考書があれば教えてください。

数列に関しては、残念なことに、 あまり良い演習問題集を見たことがありません。

微分方程式に関しては赤い本にいくらか問題が載っています。 また「演習と応用:微分方程式」(寺田ほか, サイエンス社)が 役に立つかもしれません。
解説なしで問題だけでかまわないのなら、過去のODE演習の問題も利用できます。

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