ODE講義についての質問と回答

講義日 2009-05-11
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講義終了後に書いてもらったメモのなかから 「質問」「疑問」と思われるもの、 または担当者の興味をひいたコメントを選んで掲載します。 文章表現は一部変える場合があります。 (質問でなく要望と思われるものは、 いちおう承りますが、ここでは原則として扱いません。)

(d/dx + α) (d/dx - α) y = 0 の形から なぜ y = A exp(αx) + B exp(-αx) になるのかがあまり分からなかった。

大前提として、次のことについて納得しておく必要があります:

そこで解を推測するために、まず
(d/dx + α) (d/dx - α) y = 0
の下線部にまず着目します。 これは1階のODEであり、既に習ったパターンなので、 この部分の解は 定数 × exp(αx) になることが分かります。

次に (d/dx + α) の部分を考えます。 演算子は行列みたいなものなので、 必ずしも勝手に交換できるとは限らないのですが、 今の場合は (d/dx + α) と (d/dx - α) の順序を逆にして
(d/dx - α) (d/dx + α) y = 0
としてもかまいません(左辺を丁寧に展開すると同じになる)。 そこでやはり下線部に着目し、同じように考えて、 定数 × exp(-αx) という解が得られます。

もとの方程式の解は、 得られた2つの解(基本解)を組み合わせればよさそうです。 そこで、線形結合の形で y = A exp(αx) + B exp(-αx) すればいいのではないか? と 推測します(この段階ではまだ推測です)。 この推測が当たっているかどうかを確認するために、 左辺に代入してみます。 代入して計算してみると、たしかにゼロになる(つまり 右辺とのイコールが成り立つ)ので、これでOKです。

※ 後半は定数変化法を用いて考えることもできます[→昔の資料]。

複素数を使うexpの証明は覚えていなければいけませんか?

覚えるというのが「暗記」という意味だったら、それは無意味です。 でも「納得」という意味だったら、覚えたほうがいいです。 しくみが分からない公式を使うのは気持ちが悪いですから。

こういうものは、覚えるというよりも、 流れをつかんで証明を自力で再現してみるものだと思います。 去年の流体力学IIのページにも書いたことですが、 勉強法としては次のようなやりかたをおすすめします。
(1) まずは資料(講義ノートや解説プリント)をよく読んで 道筋を把握 → (2) もとの資料を見ずに白紙のノートに自力で内容を書いてみる → (3) 詰まる → (4) ノートを閉じて資料をちょっとだけ見る → (5) 再び(2)に戻る
この勉強法をマスターすると、 (論理的な思考が重要となる分野では) いろんなことに応用が効くと思います。

最後の代入してからの計算がよく分からなかった。

上記の「自力で再現」という勉強をまずやってみましょう。 これによって、どこで詰まるかを明確にしたうえで、 いちど時間があるときに私のところに質問に来てください。

どうして等比数列とか等差数列が出てくるのか分からない。

たとえば cn+1 = cn + 3 という式を見たら 「あ、等差数列だ」と思えるくらいの知識はありますね? もしこの点が大丈夫なら、 上と同じく「自力で再現」という勉強をしてみてください。 もし大丈夫でないなら、緑の本をしっかり勉強しましょう。

途中の cosαのマクローリン展開は意味があったのか?

あくまで 1/cosα を求めるための途中計算です。

tanαの展開はどうなる?

sinα の級数展開を cosα の級数展開で割ればできます (無限小数の割算を筆算でやるのと似た計算になる)。 ただし、結果はあまりきれいな形になりません。 どうしても一般項を書きたい場合は Bernoulli数というものを使えば一応可能ではあるのですが…。

数列が難しい。

思い込みだってば…。 数列は面倒ですが難しくはありません。 本当は微分のほうがはるかに難しいのですが、 あまりにも難しいので高校では易しい問題しか出さなくなり、 そのために、微分は易しい、と みんな勘違いしているのではないか? と私には思えます。 (ついでに言えば積分はもっと難しいです。)

まあ易しいか難しいかよりも慣れの問題という気もします。 数列では「将棋倒し」のイメージをつかむことが重要です。 このイメージを描きながら、 緑の本の問題とか高校数学の問題とかを考えてみてください。

今、教科書のどのあたりをやっているか、ぜんぜんつかめない。

今回の話は教科書にはないです(オリジナルに近い)。 教科書に頼らず、講義の流れを自力でしっかりおさえましょう。

教科書は、講義で把握しきれなかった細かい点を復習するのに使います。 ODEのホームページに参考となる箇所を挙げてあるので、 必要に応じてチェックしてください。

最後の "This is our jewel" は誰の言葉?

Feynmanの有名な教科書にある言葉。 具体的には chapter 22 の最後のほうです。
ちなみに、この教科書は、Feynmanによる独自の物理学の講義を あとでLeightonとSandsがまとめたものだそうです。 日本語版もあります。

ii ってどうなるんですか?

いい質問です。 同時に、ありがちな質問でもあります。

ためしに ii = ex と置いて、 両辺の対数をとってみましょう。 すると
i log i = x
ですから、 log i さえ求められれば x が得られ、 これから ii の値が得られます。

log i の値はひととおりには決まりません。 任意の整数 n に対して exp( (2n+1/2)πi ) = i なので、 log i の値はたくさん出てきます。 そのひとつひとつに対して x の値が決まり、 ii が決まることになります。

もし県立図書館などに行く機会があったら、「xのx乗のはなし」という本を探してみてください。

説明しながら板書しないでほしい。 板書してから説明してほしいです。

昨年あたりからこういう意見が出るようになったのですが、 私は賛成できません。 むしろ、私にしてみれば、 黙々と板書をする人を見ると苛立ち(イラダチ)を感じるのですが。

私の授業を含め、多くの(まともな)大学の授業では、 板書はメインではありません。 話のほうがメインであり、板書はそれを補助するものという位置づけです。 だったら話し方をもう少し明瞭にしろとか言われそうですが…。 はい。 そこは気をつけます。 たぶん高校の授業は板書がメインだし、 テレビ番組でも字幕がメインで音声が補助だったりすることがあるので、 「板書は補助」と言われてもとまどうかもしれませんが、 しかし、そういうものなのです(むしろ、 大学では ---語弊がある言い方かもしれないが--- 出席しても意味がない授業であればあるほど 板書重視だったりする傾向があるような気もする)。 もし図書館などで「大学で何を学ぶか(浅羽通明 1999)」という 本を見る機会があったら、 「講義ノートがとれない受験秀才たちの悲惨」 というあたり(文明論の講義ノートが完全に見当外れだった話)を 読んでみてください。 また、たとえば社会人になると 相手の話をメモにとる必要が頻繁に生じるはずですが、 たいていの場合、相手は話を板書してくれるわけではありません。 板書してくれるとしても、話がメインで板書が補助であるはずです。

そういうわけで、私が話しながら板書している場合は、 まずは先に話のほうに集中してください。 たぶん、板書は話している内容を そのまま(または適度に省略して)書いているはずなので、 あとから追いかけていっても大丈夫です。 もし追い付かなくなったら「ちょっと待ってください」と言って 講義の進行をいったん止めるように要求しましょう。 それくらいの意志表示はできるものと思っている(というか、 できないと社会人になってから困る)ので。

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