流体力学II

作成: 2008-06-21 / 更新: 2008-08-12

後藤先生の「流体力学I」に続く講義です。

四半期制についての意見募集

今年度の「流体力学I」「流体力学II」では、 試行的に四半期制(講義の期間を半年のさらに半分とし そのぶんペースを倍にする形式)を導入してみました。 私(大信田)としては、 これによって「流体力学I」と「流体力学II」が 同時進行することによる混乱(両方が頭の中で混ざってしまうこと)は 多少は避けられたのではないかと思います。 けれども、それ以外の点では、もしかすると不都合があったかもしれません。 また、同じく四半期制を実施するにしても、やりかた次第で 効果があったりなかったりすることもあると思います。

そのほか、本来、四半期制の利点としてよく言われることなのですが、 短期間で集中して勉強することによって 学習効果が高まるのでは? という期待がありました。 講義のあいだが1週間あくと前の週の内容を忘れてしまうことがありますが、 週2回の講義であればそのリスクは減るのではないか、ということです。 また今後の話になりますが、 「流体力学I」「流体力学II」のような講義どうしの組み合わせに限らず、 講義と演習とか、あるいは演習どうしの組み合わせにより、 短期間で集中して演習をやるということも考えられます。 さて、今回の場合、期待どおり学習効果は高まったのでしょうか?

以上のような次第で、後期の他の科目や来年度の計画の参考にするため、 今回の四半期制についてのコメントや改善意見を募集します。 大信田宛にメールまたはメモ書きで意見を送ってください。 後期の四半期制の検討に対する参考意見としてまにあうようにするには、 8月20日の朝までか、できれば前日夕方までに送ってもらえると助かります。 以上、よろしくお願いします。

資料

教科書

今井功「流体力学」 (岩波書店)

追加レポートBのための参考書

ファインマン物理学 IV 第19章・第20章

疑問・質問・さらに知りたいこと

講義終了後に書いてもらったメモのなかから 「質問」「疑問」と思われるもの、 または担当者の興味をひいたコメントを選んで掲載します。 文章表現は一部変える場合があります。 (質問でなく要望と思われるものは、 いちおう承りますが、ここでは扱いません。)

学内外の専門家の方へ: もし説明の誤りや誤解を招く表現などがありましたら、 ooshida@damp.tottori-u.ac.jpまでご一報いただければ幸いです。

液体ヘリウムで粘性がゼロになるのは絶対0度? (7/16 口頭質問)

→ いい質問です。 超流動は、必ずしも絶対0度まで冷やす必要はなく、 それよりも少しだけ高い温度で実現します(約2.2Kくらい)。 何が起きているかというと、 このときのヘリウム原子の集合体は2つのグループに分かれていて、 片方のグループはランダムな熱運動をおこない粘性のある通常の流体、 もう片方のグループは全ての原子が1つの波動関数に従うような(つまり 運動が完全にシンクロした)粘性ゼロと見なせるような流体になります。 温度を2.2Kまで下げると後者のグループが出現し[※]、 さらに温度を下げるにつれて後者の占める割合が大きくなります。 後者の割合が100%ではなくても、とにかく有限の割合で存在するために、 μmサイズの毛細管を流体が圧力差なしに通り抜ける現象が 観察されるのです。

※ 詳しくは統計力学の本の量子統計のあたりを見てください。

なぜヘリウムは凍らないんですか? (7/16)

→ 粒子が軽いからです。 軽い粒子では量子力学的な効果が顕著となり、 低温でもなかなか一定の範囲に閉じ込めにくくなります。 詳しいことは量子力学担当の星先生にきいてください。

もうひとつ、ヘリウムは単原子分子であるために 分子間の力が非常に弱いということも理由として挙げられます。 水素はヘリウムよりも軽いけれども、分子が球状ではないので 電子分布に偏りがあり、そのために分子間力がはたらいて、 極低温では固体になります。 また、ネオンやアルゴンは単原子分子ではあるけれど、 分子が重いために、量子力学的効果よりも 電子分布のわずかな偏りによる分子間力のほうが大きくなり、 したがって極低温ではやはり固体になります。
そのほか、凍らない流体の仲間として、 金属などの自由電子を含めてもいいかもしれません。 スピンがあるため話はやっかいなのですが、 とにかく適当な条件を満たす物質をひたすら冷やしてやると、 電子の超流動のようなものが実現します。 どこかで聞いたことがある話ではないでしょうか?

液体窒素はどうなんですか? (7/16)

→ 液体ヘリウムと違って普通に粘性のある流体です。 英語版Wikipediaの「viscosity」の項目によると、 77Kにおける液体窒素の粘性係数は 1.58×10-4 Pa・s だそうです(常温の水の1/6くらい)。

地球の南半球と北半球で渦のできる方向が逆なのはなぜですか? (7/16)

→ 質問に答える前に最初に断っておきますが、 すべての渦の方向が北半球と南半球で逆になるわけではありませんよ。 渦のできる方向が北半球と南半球で逆になるのは、 台風などの巨大な渦の場合です。
さて巨大な渦の方向がどうして逆になるかというと、 もちろん地球の自転の影響です。 説明のしかたはいくつかあると思いますが:

ちなみに地球の自転に伴う渦度は、鳥取だと毎分0.14度くらいの 非常に微小な回転です。 小さい渦ではこれよりも本来の角速度のほうが大きいため、 地球の自転の影響を受けないのです。

なんで渦糸と言うのですか? (7/16)

→ 渦度のある領域が細くて長いからじゃないでしょうか?? 英語では vortex filament と言います。

渦輪の一部を拡大して見るという図で、 正面ではなく背面から見たことに何か理由があるのですか? (7/15)

→ 循環が正になるようにするためです。 正面から見た図であれば図の右側をマークすべきだったのですが、 図の配置の都合上、左側をマークしてしまったので、 「裏から見た図」ということにした次第。

海とかだと内部の流れはどうなる? ドーバー海峡・太平洋・鳴門のあたりでは? (7/9)

→ 海の渦の話ですか? これも個別の話をしはじめると非常に難しくなってしまうのですが…。 ものすごくおおざっぱなことを言えば、流れは水面に平行ですから、 コーヒーや紅茶を水平方向にかきまわしてできる渦と基本的には同じ、と 考えてください。 ただし、ある程度以上の時間スケールでは、 地球の自転の影響があらわれます(巨大なコーヒーカップがあって、 それ自体がゆっくり回転していると思えばよい)。

  • 一般論を言うと、Euler方程式にしたがう流れでは、 z方向に強い渦度がある場合、定常流れが実現するのは 速度のz微分がゼロである場合に限ることが 証明できます(Taylor-Proudmanの定理)。 この定理があてはまる場合には、流れはzによらないわけですから、 海の表面でも少し潜ったところでも、 そのまま同じような2次元流れになっていると考えられます。
  • 地球物理的な流れに興味があるなら、 地球流体電脳倶楽部の酒井先生による「実験室の中の空と海」を見てみることをお薦めします。
  • ついでながら、鳴門の渦は、徳島で物理学会があったときに、 私の同期の流体研究者といっしょに見に行ったことがあります。 行ってみたら、現地に「鳴門の渦はカルマン渦」という説明があって、 これはちょっと不正確すぎる説明なんじゃないか? と思いました。 私と一緒に行った人も同じ意見だったし、 別のサイトでも「鳴門の渦がカルマン渦である」というのはおかしいという 指摘があるようです。

二重円筒のあいだの流れで、どうして渦ができるのか? (7/9)

→ これは式を使わずに説明しようとすると、 どうしても正確に説明するのは難しくなってしまうのですが…。 まずは、宿題にした問題を解いて、渦ができる前の バウムクーヘン状の流れを図示してから(できれば圧力分布も)、 以下の説明をじっくり読んでみましょう。 それでよく分からない場合は2207号室まで質問に来てください。

渦ができる前の最初の流れでは、流体は円を描いて回っています。 流体にも質量があるので、それぞれの流体粒子(微小要素)は 慣性の法則により直進しようとするのですが、 その軌道を圧力勾配でねじまげて円運動させている、という状態です。 おもりにゴムひもをつけて振り回しているのと 似たようなもの、と考えてください。 (おもりの立場から見ると、 遠心力で外に飛ばされようとするのをゴムひもでつなぎとめられている、 とも言えます。)

さて、流体には、たいてい何か微小な撹乱が加わっています。 その撹乱に対する安定性を考えましょう。

  • たとえば、何かのはずみで 流体が原点からわずかに遠ざかったとする。 つまり、回転の半径がわずかに大きくなったとする。
  • ゴムひもであれば張力が増大しておもりを引き戻すはずだが、 今の場合、外側に行くほど圧力勾配が小さくなるため、 軌道からずれた流体を引き戻すどころか、 ますます力のつりあいがくずれる結果になる。
  • したがって、いったん外側に向かいはじめた流体は、 そのまま外側に向かって加速される。

こうして外向きの流れができますが、いちばん外側は壁なので、 どこかに内向きの流れがないとおかしなことになります。 こういうわけで、 (r,z)面内で対流が発生するのだと考えられます。

粘性係数の実験装置の管は横じゃないとダメなのか? 下に管をつけても同じ結果が得られる気が…。 (7/8)

→ その場合、細管のなかの流れの方程式には、 重力による流れの駆動の項をつけ加えて解くことになります。 最終的に出てくる結果は、たぶん、水面と管の入口の高度差ではなく、 水面と管の出口の高度差による式になると思います。 これは実際に計算してみると話がはっきりするのではないでしょうか。 (講義で習った知識だけでじゅうぶんに実行できる計算なので、 ぜひ試しに計算してみることを勧めます。)

自由表面の境界条件で、もしも表面張力が加わるとすると、 具体的な数式としてはどんなものが加わるのですか? (7/2)

→ 大気圧 patm のところが、

patm - (表面張力係数)×(表面の曲率)
に置き換わります。 具体的な式については(手前味噌で恐縮ですが)何年か前の研究会資料式(2)を見てください。 なお、ここでは表面張力係数をTとしていますが、 人によってσだったりSだったりするので、そこは 適当に読み替えましょう。

川とかは表面の凸部が下流に進んでいるようには見えないんですが、 本当はどうなんですか? (7/2)

→ 平板上の流れだと表面の凸部は下流に移動しますが、 板そのものに凹凸があって表面が盛り上がる場合は、 もちろんそれは下流には移動しません。 (凹凸のあるつららにそって 水が流れる場合などがこれに該当すると思います -- もちろん 凹凸自体の移動が無視できるような短時間観察の場合の話ですが。) ここでいう川の場合も、 よく観察してみると何か一定の場所に原因となるものがあるのでは?
ついでながら、川の場合だとReynolds数がやたらに大きいので、 今日の話がそのまま全部あてはまるわけではないことにも注意しましょう。
なお、つららの凹凸に関しては 上之和人さんという方の研究があります

「流れが一方向」という制約条件で、 Navier-Stokesはとても簡単な式になる。 見ためスッキリ。 (6/25)

→ 要するに、ほとんど拡散方程式(熱伝導方程式)と同じになります。 詳しくは「物理数学」の授業で勉強しましょう。

納豆の流れは難しいのでしょうか? (6/25)

→ 水や空気と違って一様でないので、 すごく難しいですが、同時に興味深い問題でもあります。
まず、納豆の基本的な部分は大きな粒からできていますね。 こういう粒子の集合体を「粉粒体」と言って、 たとえば乾燥した砂とか米とか大豆とか(の流れ)が該当するのですが、 ふつうの流体とはかなり違う性質をもつことが分かっています。 たとえば水を容器に入れて放置すると水面は平らになりますが、 粉粒体の場合、表面が平らにならないまま固まったりします。
さらに納豆には「ねばねば」がありますが、 この部分も通常の流体とは異なっていて、 粘性流体と弾性体の中間的な性質をもっています。 顕著な糸引き現象が見られること、糸が切れると跳ね戻ることなどは、 納豆の「ねばねば」が弾性体のような性質をもつことのあらわれです。 もし「流れる固体」という本を図書館で見かけることがあったら、 一読してみることを勧めます。 でもその前に、まずは実際に納豆をかきまぜてよく観察すること、 それから水や砂糖水の場合と比較してみること、でしょうか。

この(講義で扱った)条件つきの極値問題と、 束縛条件つきの運動方程式を解くのは、同じ考え方ですか? (6/18)

→ そうです。 もう少しくわしく言うと、 運動方程式を極値問題として扱うという手法(最小作用の原理)が 適用できる場合で、 かつ束縛が「なんとか = 定数」の形に書ける場合には、 今回扱った「Lagrangeの未定乗数法」が使えます。 解析力学の本に載っているはずなので、図書館でさがしてみてください。

結界みたいなものを実際に作れるのかどうか? (6/11)

→ たぶん無理。 ちなみにマジンガーZのバリアについては 「空想科学読本」に考察が載っていました。

渦の中心は流れが速いといってよいのか? (6/10)

→ 講義で扱った剛体回転の場合、話は逆です。 水平方向の速度は中心からの距離に比例し、 中心では水平方向の速度はゼロになります。

円柱でも完全流体なんですか? (6/4)

→ 質問の意味がいまいちはっきりしませんが、 円柱を過ぎる流れでReが大きい場合の実験結果は、 いわゆる完全流体の理論とは一致しない結果になります。 教科書の図40.5のあたりを見てください。

流体力学Iの期末テストが全くできなかったので不安です。 どのように勉強したらよいか分かりません。 (6/4)

→ そのためにこのウェブサイトを作ったようなものなので、 掲載してある資料を大いに活用してください。 中間試験前の補足資料には、 「プリントや講義ノートを見ずに○○の導出を再現せよ」 という練習問題がいくつかあります。 こういう場合、
(1) まずはプリントをよく読んで道筋を把握 → (2) プリントを見ずにノートに自力で内容を書いてみる → (3) 詰まる → (4) ノートを閉じてプリントをちょっとだけ見る → (5) 再び(2)に戻る
というようにしてみましょう。 この勉強法をマスターすると、 (論理的な思考が重要となる分野では) いろんなことに応用が効くと思います。

あと、数式がからむ部分では、 ベクトル解析に慣れていると楽です。 数式を、流れや圧力のイメージに変換する能力、と 言い替えてもいいです。 そのための秘訣はやっぱりイメージ修行…ですかね。 とにかくひたすらGnuplotでベクトル場の図を描いているうちに、やがて Gnuplotがなくても図のイメージが把握できるようになるものと思われます。

最後に一言: 「流体力学II」では、たとえ数式が分からなくても、 とにかく現実世界のどこにでもある流体の話なので、 日頃から流体をひたすら観察していれば大丈夫です。 がんばりましょう!

レイノルズ数をReと書くと「実数」とよんでしまいそうだ…。 (6/4)

→ たしかに記号がかぶっています。 が、仕方がありません。 また、1文字のRにすると、なおさら重複しやすくなります。
考えられる対策は、 式を書く前に「Reynolds数をReとすると…」みたいな 断り書きを書くようにする、ということくらいでしょうか。

粘性がある場合とない場合の違いが あまり理解できませんでした。 (5/28)

→ 講義名で言うと 「流体力学I」が粘性なしで、「流体力学II」が粘性ありです。 違いは今後の講義で詳しく扱う予定ですが、 いちおう簡単にまとめておきます。

流れを遮る物体に近くなるほど流速は遅くなっていくこと: 川遊びをしているときなどは 自分のまわりが速くなっていると勘違いしていた。 (5/28)

→ それは必ずしも勘違いではないのです。 足があるぶん流れがせばめられているのは確かなので、 おそらく足から1cmとか2cm離れたあたりでは 流れは速くなっているものと思われます。 講義で言ったのは、足の表面から0.1mmくらいの距離では、 逆に流れは粘着条件のせいで遅くなっているはずだ、 ということです。 (どれくらいの尺度で物事を見るかによってモノが違って見える というのは、よくある話だし、重要なことだと思います。)

外部リンク

[授業のページ(大信田)] [応用数理工学科の研究室一覧]