ODE講義についての質問と回答

講義日 2009-04-27
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講義終了後に書いてもらったメモのなかから 「質問」「疑問」と思われるもの、 または担当者の興味をひいたコメントを選んで掲載します。 文章表現は一部変える場合があります。 (質問でなく要望と思われるものは、 いちおう承りますが、ここでは原則として扱いません。)

もともと積分はΣだったのか!

そう、これが本来の積分の意味です。 ただし緑の本の冒頭(viiページ)を見ると、 高校数学では数列が浮いてしまっているために、 高校での積分は、Σとの関係ではなく 微分との関係のみで習うことになってしまうようです。 しかし実際の問題で積分を用いる場合は Σとの関係が非常に重要になります。 余裕があったら、力学や電磁気学や流体力学の本で 積分が出てくる箇所のあたりをチェックしてみてください。 こういうところでΣとの関係が重要になってきます。

高校1年のときに特性方程式を習って 「なぜこう解けるかは大学で教えてもらえ」 と言われ、ずっと不思議に思っていたが、ようやく分かった。

良かったですね。 その背後には線形代数というからくりがあって、 行列の固有値問題とつながっているのです。
もっとも、数列をきちんと教えない大学も多いので、 同級生のなかには未だに謎に思っている人もいるかもしれません。 こんど高校時代の友達に会ったら教えてあげるといいかも。 それからその高校の数学の先生にも、機会があったら、 よろしくお伝えください。

3階・4階のODEはどうやって解くのか?

少なくとも今回扱ったようなタイプでは、 3階のODEは隣接4項間の漸化式になり、 3次方程式に帰着します。 同様に、4階のODEは隣接5項漸化式で4次方程式となり、 一般にn階のODEはn次方程式を用いて解くことになります。

まさかここで固有値が出てくるとは思わなかった。 線形代数の内容はほかにも出てくるのですか?

出てきます。 「線形結合」それから「同次・非同次」はチェックしておきましょう。 そのほか「線形演算子」(緑の本の§4.1.6)も要チェックです(ただし p.153 の欄外の One Point Advice は間違っています)。

固有値問題に持ち込む場合に、 行列が対称行列や交代行列になるものを考えてみたい。

なかなか良い点に着目していますね。 力学IIで、n質点系の振動問題が出てきますが、 これは対称行列の固有値問題になります。 また、量子力学でも、 これと似たような状況(Hermite演算子の固有値問題)が登場します。 自分で本をさがして予習してみましょう。

ODEが差分で解けることは分かったが、あまりにもややこしい。 もっと簡単な解き方はないのか?

もちろんあります。 ただ、 最初からそれを天下りに示しても 「なぜそんなのを思いついた?」という疑問が生じるし、 公式を無条件におぼえると間違って使う危険性もあるので、 まずは正直に解いてみた次第です。
予定では、n階ODEのうち最も代表的なものの実用的解法を 5/18および5/25に説明することになっています。 ポイントは、まず第1に、 n階ODEの解法はどのみちn次方程式を経由するのだから、 最短の手順でn次方程式に持ち込むこと、 それから第2には、解法が適用できるか否かを見分けるために 線形代数の知識を用いることです。 ただそのためにはもう少しだけ準備が必要なので、 あせらずに、話の展開にもうしばらくつきあってください。

緑の本の使い方。 授業と並行して勉強すればいいのか?

緑の本でどう勉強するかは人それぞれです。 なにしろ「数学は自由」ですから(←Cantorの言葉)。

…など、いろんな使い方ができます。 基本的には、教科書指定した理由は 数列と指数関数に関する知識を補強するためですが、 人それぞれの事情に合わせて上手に活用してください。

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