Bessel関数とその仲間たち

HTML版: 2001-05-02 / PostScript版 (0.75MB)


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第1種Bessel関数: u = J_n(z)
[J0 と J1 のグラフ]
第2種Bessel関数: u = Y_n(z)
[Y0 と Y1 のグラフ]

これらはBesselの微分方程式

 [ (1/z)∂_z z∂_z + 1 - ((n^2)/(z^2)) ] u = 0

を満たす。

第2種のBessel関数をNeumann関数と称し、 N_n(z)のように書くことも多い。 また

H^{(1)}_n(z) = J_n(z) + i Y_n(z),
      H^{(2)}_n(z) = J_n(z) - i Y_n(z)

Hankel関数という。

三角関数が指数関数と結びついているように、 Bessel関数は、 変形されたBesselの微分方程式

 [ (1/z)∂_z z∂_z - ( 1 + ((n^2)/(z^2)) ) ] u = 0

の解である変形Bessel関数と結びついている。 第1種の変形Bessel関数 I_n

 i^n I_n(z) = J_n(iz)

で定義され、z→+∞ で指数関数的に増大する。 他方、第2種の変形Bessel関数 K_n は 原点で対数的またはベキ的に発散し、 z→+∞ で指数関数的にゼロになるような関数である。


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