線形結合

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αとβをスカラー(ふつうの数)として、 αp + βq のことを「pとqの線形結合 (linear combination)」という。 「一次結合」とも言う。 和は2項とは限らず、1項のみだったり3項以上だったりしてもよい。 また、p や q は(広い意味での)ベクトルであり、 αp + βq も ベクトルである。

ついでながら、狭い意味でのベクトルの場合は <math>\mathbf{p}</math>, <math>\mathbf{q}</math>, <math>\alpha\mathbf{p}+\beta\mathbf{q}</math> のように 太字で書くことに注意しよう。

身近な例[編集]

たとえば買いものの総額が

3 × (りんごの単価) + 5 × (みかんの単価)

のようにりんごとみかんの値段の線形結合であらわされる、 などという例が挙げられる(値段は線形結合に意味があるので広い意味でのベクトルである)。

値段だけではあまりベクトルっぽくないかもしれないが、 たとえば(値段,質量,栄養価)のように複数の属性を組にして考えると それなりにベクトルらしい感じがしてくる。 ほかにも身近な例をいろいろ考えてみよう。

数学における例[編集]

線形同次方程式の解は(特にODEの場合)、 係数を任意定数とする線形結合の形で、たとえば

<math>y = c_1 y_1 + c_2 y_2</math>

のようにあらわされる。

多項式は単項式の線形結合である。 たとえば <math>\{ x^n | n=0,1,2,\ldots \} </math> の線形結合が x の多項式。 さらに、Taylor展開とは、 与えられた関数 f = f(x) を <math>(x-a)^n</math> の線形結合であらわす式である。

与えられた関数を三角関数の線形結合であらわすのがFourier級数

一般に、よく分からない関数をよく分かっている関数の線形結合であらわすという技が頻繁に用いられる。