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長波展開

Benney [1]に従って 長波パラメータ $\mu$ $\mu \sim \partial_x \stackrel{\mathrm{def}}{=}\mu\partial_{x_{1}}$ により導入し, 基礎方程式系(1)-(3)を $\mu$ で展開する. たいていの液体は表面張力が大きいので, 実際に $\mu \propto W^{-1/2} \ll 1$ が成り立つことが多い. こうして速度場$\mathbf{u}$が消去され, $h$のみを変数とする発展方程式が

\begin{displaymath}
\partial_t {h} + \partial_x {Q} = 0, \qquad
Q = \int_0^h u\,dz
= Q_0 + \mu Q_1 + \mu^2 Q_2 + \cdots
\end{displaymath} (4)

の形で得られる[2,3,4]. たとえば, $Q_1$までの結果(Gjevik[2]の長波方程式)は 次のとおり:
\begin{displaymath}
\partial_t h + \frac{2}{3} \partial_x \left[
h^3
+ \left(...
...pha \right) \partial_x h
+ W h^3 \partial_x ^3 h
\right] = 0
\end{displaymath} (5)




著者: 大信田 丈志
ooshida@damp.tottori-u.ac.jp 2000-08-24