力学演習II 数値計算(2): 減衰振動
2000-11-01
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なるべくオンラインで見るようにしてもらえると助かります。
減衰振動子の運動方程式
質量
の質点が、
バネからの力 -kx と、
速度に比例する抵抗力
を受けて運動しているとしよう。
この場合、質点の運動方程式は
(1)
となる。
方程式(1)は、
適当に無次元化すると、
次のような形に書きなおすことができる:
(2)
※ 無次元化:
式のなかに現われる変数を
すべて「次元なし」にするような変数変換のこと。
位相空間
減衰がない場合、単振動の方程式
は
(3)
という形に書き直すことができる。
この式の意味は「1次元の運動を
2次元空間のなかの点(p, q)の軌跡として表現できる」と
いうことである
ここで出てくる2次元空間のことを位相空間と言って、
天体力学・統計力学・希薄気体力学・量子力学などで非常に重視される。
※ 今の例では位相空間は2次元であるが、一般にそうとは限らない。
たとえば、3次元における質点の運動を表現する場合は6次元空間となる。
練習
- 減衰振動の運動方程式(1)を無次元化し、
式(2)を導け。
ヒント: まず
と
を組み合わせて
時間の次元をもつ基準量
を作り、
と置く。
- 式(3)にならって、
減衰振動の運動方程式(2)を
の形に書き直し、
この方程式を解く数値計算プログラムを作成せよ。
- まずは
の場合(減衰がない場合)を考える。
いくつかの適当に決めた初期条件に対して、
位相空間における (p, q)の軌跡を
数値計算で求めて図示し、明日(11月2日)の夕方までに提出せよ。
11月の課題
- 減衰振動の方程式において、
=0.5,
1.5, 2.5 の場合の数値解を求め、
の関数として図示せよ。
なお、初期条件は10月の課題[1]と同じとする。
- いくつかの
の値に対して、
さまざまな初期条件に対する減衰振動の運動を計算し、
その結果を、
位相空間における (p, q)の軌跡として図示せよ。
たとえば
=0.1 から
=3.5 くらいまで
10とおりほどの
の値について計算し、
その結果のなかから代表的なものを選んで考察せよ(計算結果を
すべて提出する必要はない)。
これらの課題をレポートにまとめ、
11月27日の朝までに 事務室前のレポート箱に提出すること。
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