力学演習II 数値計算(2): 減衰振動

2000-11-01


注意! 演習室のプリンタの用紙やトナーには限りがあります。 必要以上にたくさん印刷することは避けてください。 特に、WWWの文書(この文書を含む)は、 なるべくオンラインで見るようにしてもらえると助かります。


減衰振動子の運動方程式

質量 m の質点が、 バネからの力 -kx と、 速度に比例する抵抗力 -gamma(dx/dt)を受けて運動しているとしよう。 この場合、質点の運動方程式は

m(d/dt)^2 x + gamma(dx/dt) + kx = 0        (1)

となる。 方程式(1)は、 適当に無次元化すると、 次のような形に書きなおすことができる:
(d/dt)^2 x + beta(dx/dt) + x = 0        (2)
無次元化: 式のなかに現われる変数を すべて「次元なし」にするような変数変換のこと。

位相空間

減衰がない場合、単振動の方程式 ma = -kx

(d/dt)[p,q] = [-q, p]        (3)

という形に書き直すことができる。 この式の意味は「1次元の運動を 2次元空間のなかの点(p, q)の軌跡として表現できる」と いうことである ここで出てくる2次元空間のことを位相空間と言って、 天体力学・統計力学・希薄気体力学・量子力学などで非常に重視される。

※ 今の例では位相空間は2次元であるが、一般にそうとは限らない。 たとえば、3次元における質点の運動を表現する場合は6次元空間となる。

練習


11月の課題

  1. 減衰振動の方程式において、 beta=0.5,   1.5,   2.5 の場合の数値解を求め、 tの関数として図示せよ。 なお、初期条件は10月の課題[1]と同じとする。
  2. いくつかのbetaの値に対して、 さまざまな初期条件に対する減衰振動の運動を計算し、 その結果を、 位相空間における (p, q)の軌跡として図示せよ。 たとえば beta=0.1 から beta=3.5 くらいまで 10とおりほどのbetaの値について計算し、 その結果のなかから代表的なものを選んで考察せよ(計算結果を すべて提出する必要はない)。

これらの課題をレポートにまとめ、 11月27日の朝までに 事務室前のレポート箱に提出すること。


[力学演習のページに戻る]