[次に進む: 文献] [上に戻る: Regularized long-wave expansion] [前に戻る: 長波展開の破綻]

正則化長波展開

長波展開は $R$を有限に保って $W \to +\infty$ とすれば 収束するはずだが, 有限の$W$と有限の$R$に対して収束するかどうかは疑わしい. Salamonらが示した長波展開の破綻は, 長波展開の収束性に問題があることを示しているように思われる.

収束性が悪い場合のモデルとして, 形式的に, 無限個の項をもつ線形の微分方程式

\begin{displaymath}
\partial_t h + \partial_x h + \partial_x ^2 h + \partial_x ^3 h + \partial_x ^4 h + \cdots + \partial_x ^n h + \cdots
= 0
\end{displaymath} (6)

を考える. 微分演算子$\partial_x $はそもそも有界でないから, 左辺の無限級数はこのままでは発散し, 意味をなさない. しかし, 方程式(6)に$-\partial_x $を作用させ, これをもとの方程式(6)に加えると, 有限個の項から成る方程式が得られる. この手続きは, 長波展開を$\partial_x =0$のまわりでのTaylor級数と見なして これをPade'近似に置き換えたことに相当する.

この手続きを, 非線形方程式(4)に拡張する[6]. 未定の関数 $A^{(1)} = A^{(1)}(h)$ および $A^{(2)} = A^{(2)}(h)$ を用いて 演算子 $\hat{L} \stackrel{\mathrm{def}}{=}1 + A^{(1)}\partial_x + A^{(2)}\partial_x ^2$ を定義し,

\begin{displaymath}
S \stackrel{\mathrm{def}}{=}\hat{L}Q
= S_0 + \mu S_1 + \mu^2 S_2 + \cdots
\end{displaymath} (7)

とおく. ここで $\partial_x =\mu\partial_{x_{1}}$ に注意すると

\begin{eqnarray*}
S_0 = Q_0, \qquad
S_1 = Q_1 + A^{(1)}\partial_{x_{1}}{Q_0}, ...
...l_{x_{1}}{Q_1} + A^{(2)}\partial_{x_{1}}^2{Q_0}\ \ \hspace*{5cm}
\end{eqnarray*}



であることが容易に分かる. Pade'近似の精神に従って 『$S_2$ が消えるように』 $A^{(1)}$ および $A^{(2)}$ を決めることにより, 長波展開(4)を正則化する. 結果は
\begin{displaymath}
A^{(1)} = -\frac{20}{21}Rh^4, \quad
A^{(2)} = -h^2
\end{displaymath} (8)

となり, したがって
$\displaystyle \partial_t {h} - \frac{4}{21} R \partial_x \partial_t (h^5) - \partial_x \left( h^2\partial_x \partial_t {h} \right)
\hspace*{8em}$      
$\displaystyle {}
+ \frac{2}{3}\partial_x \left[{
h^3 - \partial_x \left( \frac{\cot\alpha }{4}h^4 + \frac{72}{245}Rh^7 \right)
+ W h^3\partial_x ^3{h}
}\right]$ $\textstyle =$ $\displaystyle 0 \hspace{2em}$ (9)

を得る.

\includegraphics{bifurc.ps}

方程式(9)の数値解を求め, 長波展開の結果と比較したのが右上の図である. 長波展開の破綻は, 少なくとも定性的には回避されている. また, $\delta_* \stackrel{\mathrm{def}}{=}R/W^{1/3} \lesssim 1$ の範囲では, 方程式(9)は定量的にも正しい結果を再現する.




著者: 大信田 丈志
ooshida@damp.tottori-u.ac.jp 2000-08-24