力学演習II 数値計算(4): 連成振り子の運動

2001-01-10 作成 / 2001-01-23 一部訂正


注意! 演習室のプリンタの用紙やトナーには限りがあります。 必要以上にたくさん印刷することは避けてください。 特に、WWWの文書(この文書を含む)は、 なるべくオンラインで見るようにしてもらえると助かります。


連成振り子の運動方程式

ふたつの振り子がバネで結ばれている系の運動方程式を書き下そう。

具体的にどのような系なのかについては、 本日配布したプリントにある模式図か、 12月6日「多自由度の振動(2)」の課題プリントを見てほしい。
支点 O1 を原点にとり、 Vector{O1}{O2} = (L,0) とする。 単位ベクトル e1 および e2

Vector{O1}{P1} = l e1, Vector{O2}{P2} = l e2

により導入すれば、 r1 = l e1, r2 = (L,0) + l e2 であり、 その他の力についても適当に記号を定義すれば、 運動方程式はベクトル形で

m (d/dt)^2 r1 = - T1 e1 + mg + f[2->1]; 
      m (d/dt)^2 r2 = - T2 e2 + mg + f[1->2]

のように書ける。 この式から T1 および T2 を消去して整理すればよい。

上記の運動方程式において、 T1T2は、 振り子の糸(または針金)を通じて質点に及ぼされる力の大きさであり、 この力の向きは e1 および e2によって決まる。 これは、以前に「力学演習I 課題(5): 束縛運動」や 「力学演習I 課題(10): 剛体の力学の基礎」、 「力学演習II 剛体の力学(2)」などで既に学んだ内容なので、 自信のない人はこの機会に復習しておくこと。
また、質点P1と質点P2は、 バネを介して相互作用している。 バネの力の取り扱いについても何度か学んできたわけであるが、 特に「力学演習I 課題(8): 衝突と2体問題」 および「力学演習 課題(9): 惑星の運動」を参考にすると良いだろう。

途中の計算は省略するが、微小振幅の場合には、 sin(θ1) = θ1 + O(θ1^3) などの近似を用いて

(d/dt)^2 θ1 = -θ1 + σ (θ2 - θ1) (1)
(d/dt)^2 θ2 = -θ2 - σ (θ2 - θ1) (2)

のような 線形常微分方程式が得られる(適当に無次元化してある)。

振幅が大きい場合には このような近似はできないので、 近似なしで計算してみると

(d/dt)^2 θ1 = -sin(θ1) + (σ(xi-1)/(R xi)) (cos(θ1) + R sin(θ2-θ1)) (3)
(d/dt)^2 θ2 = -sin(θ2) - (σ(xi-1)/(R xi)) (cos(θ2) + R sin(θ2-θ1)) (4)

のようになる。 ただし xi = sqrt[ 1 + 2R(sin(θ2)-sin(θ1)) + 2 R^2 ( 1-cos(θ2-θ1) ) ], R = l/L である。


練習

以上の課題を、あさって(1月12日)の夕方までに提出せよ。

1月の課題

  1. 方程式(1)(2)を解く 数値計算プログラムを作成し、 「練習」で求めた解と合っていることを確認せよ。
  2. 方程式(1)(2)において、 σ が小さい場合 (たとえばσ=0.05)について 数値計算をおこない、 それぞれの振り子のエネルギーの時間変化をグラフ化せよ。 また、系全体のエネルギーが保存されていることを示せ。
  3. 非線形方程式(3)(4)の 数値解を求めよ。 なお、t=200 程度まで計算し、 エネルギーが確かに一定値になることを確認すること。 パラメータの値は σ=1.0,  R=0.5に固定し、 θ1, (d(θ1)/dt), (d(θ2)/dt) の初期条件もゼロに固定して、 θ2 のみについて θ2[t=0] = 0.1,  0.101,  0.6,  1.1,  1.101 のように 初期条件を変化させること。 結果が得られたら、 線形方程式(1)(2)の結果と比較せよ。

これらの課題をレポートにまとめ、 2月5日の朝までに 事務室前のレポート箱に提出すること。


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